厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．已知 $A=\left(a_{i j}\right)_{4 \times 4}, a_{1 j}=2023(j=1, \cdots, 4), \operatorname{det} A=a$ ，则 $\sum_{1 \leq i, j \leq 4} A_{i j}=?(2023 a)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题意与代数余子式性质
已知 $A=(a_{ij})_{4\times 4}$，第一行全为 $2023$，即 $a_{1j}=2023$，$\det A=a$。要求 $\sum_{1\le i,j\le 4} A_{ij}$，其中 $A_{ij}$ 是元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。由代数余子式的性质，对于固定的 $i$，$\sum_{j=1}^4 A_{ij}$ 等于将 $A$ 的第 $i$ 行替换为全 $1$ 行后所得矩阵的行列式，记作 $\det(A^{(i)})$。因此 $\sum_{i,j} A_{ij} = \sum_{i=1}^4 \det(A^{(i)})$。
公式：$\sum_{j=1}^n A_{ij} = \det\begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}$（第 $i$ 行全 $1$）
提示：注意代数余子式 $A_{ij}$ 的定义：$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$，其中 $M_{ij}$ 是余子式。
步骤 2/4
目标：计算 $i=1$ 时的行列式
当 $i=1$ 时，$A^{(1)}$ 是将 $A$ 的第一行替换为全 $1$ 行得到的矩阵。由于原第一行全为 $2023$，新矩阵的第一行是原第一行的 $\frac{1}{2023}$ 倍，因此行列式也缩小 $2023$ 倍，即 $\det(A^{(1)}) = \frac{1}{2023} \det A = \frac{a}{2023}$。
公式：$\det(k\cdot \text{row}) = k\det(\text{row})$
提示：注意：将一行乘以常数 $k$，行列式乘以 $k$；这里是将第一行除以 $2023$，所以行列式除以 $2023$。
步骤 3/4
目标：计算 $i=2,3,4$ 时的行列式
当 $i=2,3,4$ 时，$A^{(i)}$ 的第一行仍为 $2023$，而第 $i$ 行变为全 $1$。此时第一行是第 $i$ 行的 $2023$ 倍，因此两行成比例，行列式为零。即 $\det(A^{(i)}) = 0$ 对于 $i=2,3,4$。
公式：若矩阵有两行成比例，则行列式为 $0$。
提示：注意：第一行全 $2023$，第 $i$ 行全 $1$，确实成比例，比例因子为 $2023$。
步骤 4/4
目标：求和得到最终结果
因此 $\sum_{i,j} A_{ij} = \sum_{i=1}^4 \det(A^{(i)}) = \frac{a}{2023} + 0 + 0 + 0 = \frac{a}{2023}$。
提示：注意：只有第一行的替换贡献非零值，其余行替换结果为零。
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