厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $V=\left\{\left(\begin{array}{ccc}0 & 0 & a \\ a+3 b & c & 0 \\ 0 & b-c & a\end{array}\right): a, b, c \in \mathbb{F}\right\}$ 按照通常运算作为线性空间，则 $\operatorname{dim} V=?(3)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出矩阵的一般形式
给定矩阵 $M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & a \\ a+3b & c & 0 \\ 0 & b-c & a \end{pmatrix}$，其中 $a,b,c \in \mathbb{F}$。
提示：注意矩阵中元素的位置，特别是 (2,1) 位置是 $a+3b$，不是 $a$ 和 $b$ 单独出现。
步骤 2/6
目标：将矩阵分解为基矩阵的线性组合
将 $M$ 按参数 $a,b,c$ 分解：
$$M = a \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + b \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + c \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：分解时注意每个参数对应的矩阵元素，例如 $a$ 出现在 (1,3)、(2,1) 和 (3,3) 位置，系数为1；$b$ 出现在 (2,1) 系数3和 (3,2) 系数1；$c$ 出现在 (2,2) 系数1和 (3,2) 系数-1。
步骤 3/6
目标：检查三个矩阵是否线性无关
设 $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{F}$ 使得线性组合为零矩阵：
$$\alpha \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \gamma \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：线性无关的定义：系数全为零时才能得到零矩阵。
步骤 4/6
目标：比较矩阵对应位置元素
比较各位置：
- (1,3) 位置：$\alpha = 0$。
- (2,1) 位置：$\alpha + 3\beta = 0$，代入 $\alpha=0$ 得 $\beta=0$。
- (2,2) 位置：$\gamma = 0$。
- (3,2) 位置：$\beta - \gamma = 0$，自动满足。
- (3,3) 位置：$\alpha = 0$。
提示：注意 (2,1) 位置是 $\alpha + 3\beta$，不要漏掉系数3。
步骤 5/6
目标：得出线性无关的结论
由 $\alpha = \beta = \gamma = 0$，可知三个矩阵线性无关。
提示：线性无关意味着这三个矩阵可以作为基的候选。
步骤 6/6
目标：确定基和维数
由于 $V$ 中任意矩阵可由 $a,b,c$ 唯一确定，且这三个矩阵线性无关，故它们构成 $V$ 的一组基，维数为 $3$。
提示：维数等于基中向量的个数，这里基由三个矩阵组成。
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