厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
5.
$\varphi$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$e_{1}, e_{2}, e_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，$\varphi$ 在两个基下的矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\operatorname{ker} \varphi=?\left(L\left(e_{1}+e_{2}-e_{3}\right)\right)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与已知条件
已知线性映射 $\varphi: V \to W$，$V$ 的基为 $e_1, e_2, e_3$，$W$ 的基为 $\eta_1, \eta_2$，$\varphi$ 在这两个基下的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。需要求核空间 $\ker \varphi$。
提示：注意矩阵的行数对应 $W$ 的维数，列数对应 $V$ 的维数。
步骤 2/7
目标：建立坐标表示
对任意 $x \in V$，设 $x = x_1 e_1 + x_2 e_2 + x_3 e_3$，则 $\varphi(x)$ 在基 $\eta_1, \eta_2$ 下的坐标为 $A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$。即 $\varphi(x) = (\eta_1, \eta_2) A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$。
公式：$\varphi(x) = (\eta_1, \eta_2) A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$
提示：坐标变换时注意基的顺序。
步骤 3/7
目标：写出核空间的条件
$\ker \varphi = \{ x \in V \mid \varphi(x) = 0 \}$。由于 $\eta_1, \eta_2$ 线性无关，$\varphi(x)=0$ 当且仅当 $A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。
公式：$A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$
提示：零向量在任意基下的坐标都是零向量。
步骤 4/7
目标：列出齐次线性方程组
将矩阵 $A$ 代入得：
$$
\begin{cases}
1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 2 \cdot x_3 = 0 \\
-1 \cdot x_1 + 1 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3 = 0
\end{cases}
$$
即
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + 2x_3 = 0 \\
-x_1 + x_2 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意第二项系数不要遗漏。
步骤 5/7
目标：求解方程组
由第二式得 $x_1 = x_2$。代入第一式：$x_1 + x_1 + 2x_3 = 0$，即 $2x_1 + 2x_3 = 0$，所以 $x_3 = -x_1$。因此解为 $(x_1, x_2, x_3) = (x_1, x_1, -x_1)$，其中 $x_1$ 为自由变量。
提示：注意自由变量的选取，这里 $x_1$ 是自由变量。
步骤 6/7
目标：写出解空间
解空间为 $\{ (x_1, x_1, -x_1) \mid x_1 \in \mathbb{R} \}$，即所有形如 $x_1(1,1,-1)$ 的向量。因此 $x = x_1 e_1 + x_1 e_2 - x_1 e_3 = x_1(e_1 + e_2 - e_3)$。
提示：注意将坐标还原为 $V$ 中的向量。
步骤 7/7
目标：得出核空间
所以 $\ker \varphi = \{ x_1(e_1 + e_2 - e_3) \mid x_1 \in \mathbb{R} \} = L(e_1 + e_2 - e_3)$，即由 $e_1+e_2-e_3$ 张成的子空间。
公式：$\ker \varphi = L(e_1 + e_2 - e_3)$
提示：核空间是子空间，需用生成集表示。
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