厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
6． $\operatorname{deg} f=4, f \in \mathbb{R}[\mathbf{x}], f=3\left(f, f^{\prime}\right) x\left(x^{2}+1\right)$ ，则 $f=?\left(3 x^{2}\left(x^{2}+1\right)\right)$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知 $\deg f = 4$，$f \in \mathbb{R}[x]$，且 $f = 3(f, f') x (x^2+1)$，其中 $(f, f')$ 表示 $f$ 与 $f'$ 的最大公因式。
提示：注意 $(f, f')$ 是最大公因式，通常为首一多项式，但此处未要求首一。
步骤 2/7
目标：确定最大公因式的次数
由 $f = 3x(x^2+1)(f, f')$ 且 $\deg f = 4$，而 $\deg(3x(x^2+1)) = 3$，因此 $\deg (f, f') = 4 - 3 = 1$。
提示：多项式乘积的次数等于次数之和，注意常数因子不影响次数。
步骤 3/7
目标：设出最大公因式形式
设 $(f, f') = ax + b$，其中 $a \neq 0$。则 $f = 3x(x^2+1)(ax+b) = 3a x^4 + 3b x^3 + 3a x^2 + 3b x$。
提示：最大公因式是一次多项式，但未必首一，故设一般形式。
步骤 4/7
目标：求导并利用整除条件
求导得 $f' = 12a x^3 + 9b x^2 + 6a x + 3b$。由于 $ax+b$ 整除 $f$ 和 $f'$，故 $x = -b/a$ 是 $f$ 和 $f'$ 的公共根，即 $f(-b/a)=0$ 且 $f'(-b/a)=0$。
提示：注意 $ax+b$ 是一次因式，其根为 $x = -b/a$。
步骤 5/7
目标：计算 $f(-b/a)$
代入 $x = -b/a$ 到 $f$：$f(-b/a) = 3a \left(\frac{b^4}{a^4}\right) - 3b \left(\frac{b^3}{a^3}\right) + 3a \left(\frac{b^2}{a^2}\right) - 3b \left(\frac{b}{a}\right) = \frac{3b^4}{a^3} - \frac{3b^4}{a^3} + \frac{3b^2}{a} - \frac{3b^2}{a} = 0$，恒成立。
提示：计算时注意符号，$(-b/a)^4 = b^4/a^4$，$(-b/a)^3 = -b^3/a^3$，$(-b/a)^2 = b^2/a^2$。
步骤 6/7
目标：计算 $f'(-b/a)$ 并求解参数
代入 $x = -b/a$ 到 $f'$：$f'(-b/a) = 12a \left(-\frac{b^3}{a^3}\right) + 9b \left(\frac{b^2}{a^2}\right) + 6a \left(-\frac{b}{a}\right) + 3b = -\frac{12b^3}{a^2} + \frac{9b^3}{a^2} - 6b + 3b = -\frac{3b^3}{a^2} - 3b = -3b\left(\frac{b^2}{a^2}+1\right)=0$。由于 $\frac{b^2}{a^2}+1 > 0$，故 $b=0$。
提示：注意 $b=0$ 是唯一解，因为 $a \neq 0$。
步骤 7/7
目标：得出 $f$ 的表达式
由 $b=0$ 得 $(f, f') = ax$，$f = 3x(x^2+1)ax = 3a x^2 (x^2+1)$。由于 $\deg f = 4$，$a \neq 0$，且 $f$ 可乘以任意非零常数，故一般形式为 $f = C x^2 (x^2+1)$，$C \neq 0$。题目提示答案形如 $3x^2(x^2+1)$，即取 $C=3$。因此 $f = 3x^2(x^2+1)$。
提示：注意常数因子可任意，但题目中给出的答案形式是 $3x^2(x^2+1)$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。