厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
7．$\alpha, \beta \in \mathbb{F}^{n}, \beta^{T} \alpha=3$ ，则 $\alpha \beta$ 的特征值为？（ $0(n-1$ 重）， 3$)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确矩阵形式
题目中 $\alpha \beta$ 应理解为 $\alpha \beta^{T}$，因为 $\alpha, \beta \in \mathbb{F}^{n}$ 是列向量，$\alpha \beta^{T}$ 是 $n \times n$ 矩阵。令 $A = \alpha \beta^{T}$。
提示：注意向量乘法的顺序：列向量乘以行向量得到矩阵。
步骤 2/5
目标：判断矩阵秩
由于 $A$ 的每一列都是 $\alpha$ 的倍数（因为 $A$ 的第 $j$ 列为 $\beta_j \alpha$），所以 $A$ 的秩为1。
公式：$\operatorname{rank}(A) = 1$
提示：秩为1的矩阵有 $n-1$ 个零特征值。
步骤 3/5
目标：确定零特征值的重数
因为 $A$ 是 $n \times n$ 矩阵且秩为1，所以 $0$ 是特征值，其几何重数为 $n-1$，代数重数至少为 $n-1$。
提示：注意几何重数不超过代数重数，但这里代数重数恰好为 $n-1$。
步骤 4/5
目标：求非零特征值
设 $\lambda$ 是 $A$ 的非零特征值，对应的特征向量为 $x$，则 $A x = \lambda x$，即 $\alpha (\beta^{T} x) = \lambda x$。由于 $\alpha \neq 0$（否则 $\beta^{T} \alpha = 0$ 与已知矛盾），$x$ 必须与 $\alpha$ 共线，设 $x = c \alpha$，代入得 $\alpha (\beta^{T} (c \alpha)) = \lambda c \alpha$，即 $c \alpha (\beta^{T} \alpha) = \lambda c \alpha$，所以 $\lambda = \beta^{T} \alpha = 3$。
公式：$\beta^{T} \alpha = 3$
提示：注意特征向量不能为零向量，且 $\alpha$ 非零。
步骤 5/5
目标：总结特征值
因此，矩阵 $A = \alpha \beta^{T}$ 的特征值为 $0$（$n-1$ 重）和 $3$（1重）。
提示：特征值之和等于矩阵的迹，这里 $\operatorname{tr}(A) = \beta^{T} \alpha = 3$，与结果一致。
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