厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
8．若 $n$ 阶方阵仅有特征值 1 且只有一个线性无关的特征向量，则 $A$ 的不变因子为？
$\left(1, \cdots, 1,(\lambda-1)^{n}\right)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特征值与特征向量条件
已知 $n$ 阶方阵 $A$ 仅有特征值 $1$，且只有一个线性无关的特征向量。这意味着特征值 $1$ 的几何重数为 $1$，而代数重数为 $n$。
提示：注意区分代数重数和几何重数：代数重数是特征值的重数，几何重数是特征空间的维数。
步骤 2/6
目标：确定Jordan标准形结构
由于几何重数为 $1$，对应特征值 $1$ 的Jordan块只有一个。又因为代数重数为 $n$，所以该Jordan块的阶数为 $n$。因此 $A$ 的Jordan标准形为 $J_n(1)$，即一个 $n$ 阶的Jordan块。
公式：$J_n(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & & \\ & 1 & \ddots & \\ & & \ddots & 1 \\ & & & 1 \end{pmatrix}$
提示：Jordan块的数量等于几何重数，每个Jordan块的阶数之和等于代数重数。
步骤 3/6
目标：推导初等因子
Jordan标准形 $J_n(1)$ 的初等因子为 $\lambda-1$ 的 $n$ 次幂，即 $(\lambda-1)^n$。因为只有一个Jordan块，所以只有一个初等因子。
公式：初等因子：$(\lambda-1)^n$
提示：初等因子是Jordan块对应的特征多项式因子，每个Jordan块对应一个初等因子 $(\lambda-\lambda_i)^{k}$，其中 $k$ 是Jordan块的阶数。
步骤 4/6
目标：由初等因子求不变因子
不变因子是初等因子的乘积，且按次数递增排列。由于只有一个初等因子 $(\lambda-1)^n$，且 $n$ 阶矩阵有 $n$ 个不变因子，其中前 $n-1$ 个为 $1$，最后一个为 $(\lambda-1)^n$。即不变因子为 $1, 1, \dots, 1, (\lambda-1)^n$（共 $n-1$ 个 $1$）。
公式：不变因子：$d_1(\lambda)=1, d_2(\lambda)=1, \dots, d_{n-1}(\lambda)=1, d_n(\lambda)=(\lambda-1)^n$
提示：不变因子是初等因子的乘积，但注意顺序：不变因子 $d_i(\lambda)$ 满足 $d_i(\lambda) \mid d_{i+1}(\lambda)$，且所有不变因子的乘积等于特征多项式。
步骤 5/6
目标：验证特征多项式
特征多项式为 $\det(\lambda I - A) = (\lambda-1)^n$。所有不变因子的乘积为 $1^{n-1} \cdot (\lambda-1)^n = (\lambda-1)^n$，与特征多项式一致。
公式：$\prod_{i=1}^n d_i(\lambda) = (\lambda-1)^n$
提示：不变因子的乘积等于特征多项式，这是检验不变因子是否正确的方法。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，$A$ 的不变因子为 $1, 1, \dots, 1, (\lambda-1)^n$（共 $n-1$ 个 $1$）。
提示：注意答案中不变因子的个数是 $n$ 个，不要遗漏前面的 $1$。
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