厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
9．$\alpha_{1}, \cdots, \alpha_{n-1}$ 是 $n$ 维欧式空间的非零正交向量组，$\left(\beta_{i}, \alpha_{j}\right)=0(i=1,2 ; j=1, \cdots, n-1)$
则 $\beta_{1}, \beta_{2}$ 必定？（选择线性无关或者线性相关）（线性相关）
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $\alpha_1, \cdots, \alpha_{n-1}$ 是 $n$ 维欧式空间中的非零正交向量组，即 $\alpha_i \neq 0$ 且 $\alpha_i \perp \alpha_j$ 对 $i \neq j$。同时，$\beta_1, \beta_2$ 满足 $(\beta_i, \alpha_j)=0$ 对所有 $i=1,2$ 和 $j=1,\cdots,n-1$ 成立。
提示：注意正交向量组中向量非零，且正交性意味着内积为0。
步骤 2/6
目标：判断正交向量组的线性无关性
在欧式空间中，非零正交向量组必定线性无关。因为若存在线性组合 $\sum_{j=1}^{n-1} c_j \alpha_j = 0$，则对每个 $k$，取内积 $(\sum c_j \alpha_j, \alpha_k) = c_k (\alpha_k, \alpha_k)=0$，由于 $(\alpha_k, \alpha_k)>0$，得 $c_k=0$。故 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}$ 线性无关。
公式：$(\alpha_i, \alpha_j)=0$ 当 $i \neq j$，且 $(\alpha_i, \alpha_i)>0$
提示：不要忘记非零条件，否则内积可能为0导致无法推出系数为0。
步骤 3/6
目标：扩充为正交基
由于 $n$ 维欧式空间维数为 $n$，而 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}$ 是 $n-1$ 个线性无关的向量，故可扩充为一组基。进一步，通过Gram-Schmidt正交化，可得到一组正交基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1},\alpha_n$，其中 $\alpha_n$ 与所有 $\alpha_j$ 正交且非零。
提示：扩充基时，注意正交化过程保证正交性。
步骤 4/6
目标：确定正交补空间
考虑子空间 $W = \text{span}\{\alpha_1,\cdots,\alpha_{n-1}\}$。其正交补 $W^\perp = \{x \in V \mid (x, \alpha_j)=0, \forall j\}$。由于 $\alpha_n \in W^\perp$ 且 $\alpha_n \neq 0$，而 $\dim W = n-1$，故 $\dim W^\perp = n - (n-1) = 1$。因此 $W^\perp$ 是一维子空间，由 $\alpha_n$ 张成。
公式：$\dim W + \dim W^\perp = n$
提示：正交补的维数公式适用于有限维内积空间。
步骤 5/6
目标：判断β1, β2的位置
由已知条件，$\beta_1$ 和 $\beta_2$ 均与所有 $\alpha_j$ 正交，即 $\beta_1, \beta_2 \in W^\perp$。而 $W^\perp$ 是一维子空间，所以 $\beta_1, \beta_2$ 都属于同一个一维子空间。
提示：注意一维子空间中的任意向量都是共线的。
步骤 6/6
目标：得出线性相关性结论
在一维子空间中，任意两个向量必定线性相关。因为若 $\beta_1, \beta_2 \in W^\perp$，且 $W^\perp$ 由某个非零向量 $\alpha_n$ 张成，则存在标量 $k_1, k_2$ 使得 $\beta_1 = k_1 \alpha_n$，$\beta_2 = k_2 \alpha_n$。于是 $\beta_1$ 与 $\beta_2$ 成比例，故线性相关。
公式：$\beta_1 = \lambda \beta_2$ 或 $\beta_2 = \mu \beta_1$
提示：注意特殊情况：若其中一个为零向量，则也线性相关。
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