厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
三．若 $A$ 是可逆实矩阵，证明：存在正交阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q A$ 为上三角阵且对角元全为正数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将矩阵A的列向量视为向量组
设 $A$ 是 $n \times n$ 可逆实矩阵，其列向量为 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n$。由于 $A$ 可逆，这些列向量线性无关。
提示：注意可逆矩阵的列向量线性无关，这是Gram-Schmidt正交化的前提。
步骤 2/6
目标：对列向量进行Gram-Schmidt正交化
对 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \dots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 进行Gram-Schmidt正交化：
令 $\boldsymbol{\beta}_1 = \boldsymbol{\alpha}_1$，$\boldsymbol{\gamma}_1 = \frac{\boldsymbol{\beta}_1}{\|\boldsymbol{\beta}_1\|}$；
对于 $k=2,\dots,n$，
$\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1} (\boldsymbol{\alpha}_k \cdot \boldsymbol{\gamma}_i) \boldsymbol{\gamma}_i$，
$\boldsymbol{\gamma}_k = \frac{\boldsymbol{\beta}_k}{\|\boldsymbol{\beta}_k\|}$。
由于 $\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_n$ 线性无关，每个 $\boldsymbol{\beta}_k \neq \boldsymbol{0}$，故 $\|\boldsymbol{\beta}_k\| > 0$。
公式：$\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\alpha}_k - \sum_{i=1}^{k-1} (\boldsymbol{\alpha}_k \cdot \boldsymbol{\gamma}_i) \boldsymbol{\gamma}_i$
提示：注意Gram-Schmidt正交化中，每一步都要减去已正交化方向上的投影，确保新向量与之前所有向量正交。
步骤 3/6
目标：构造正交矩阵Q
令 $Q$ 是以 $\boldsymbol{\gamma}_1,\dots,\boldsymbol{\gamma}_n$ 为列向量的矩阵，即 $Q = [\boldsymbol{\gamma}_1 \; \boldsymbol{\gamma}_2 \; \cdots \; \boldsymbol{\gamma}_n]$。由于 $\boldsymbol{\gamma}_i$ 是标准正交基，$Q$ 是正交矩阵，满足 $Q^T Q = I$。
提示：正交矩阵的列向量是标准正交基，注意验证内积为0且模长为1。
步骤 4/6
目标：将原列向量用正交基线性表示
由正交化过程，每个 $\boldsymbol{\alpha}_k$ 可表示为 $\boldsymbol{\gamma}_1,\dots,\boldsymbol{\gamma}_k$ 的线性组合：
$\boldsymbol{\alpha}_k = \sum_{i=1}^{k} r_{ik} \boldsymbol{\gamma}_i$，
其中 $r_{ik} = \boldsymbol{\alpha}_k \cdot \boldsymbol{\gamma}_i$ 对于 $i < k$，而 $r_{kk} = \|\boldsymbol{\beta}_k\| > 0$。
公式：$\boldsymbol{\alpha}_k = \sum_{i=1}^{k} r_{ik} \boldsymbol{\gamma}_i$
提示：注意系数 $r_{ik}$ 的计算：当 $i
步骤 5/6
目标：写出矩阵分解形式
将上述关系写成矩阵形式：
$A = [\boldsymbol{\alpha}_1 \; \boldsymbol{\alpha}_2 \; \cdots \; \boldsymbol{\alpha}_n] = [\boldsymbol{\gamma}_1 \; \boldsymbol{\gamma}_2 \; \cdots \; \boldsymbol{\gamma}_n] R = Q R$，
其中 $R = (r_{ij})$ 是上三角矩阵，且对角元 $r_{ii} = \|\boldsymbol{\beta}_i\| > 0$。
公式：$A = QR$
提示：注意 $R$ 是上三角矩阵，因为 $\boldsymbol{\alpha}_k$ 只用到前 $k$ 个 $\boldsymbol{\gamma}_i$。
步骤 6/6
目标：得到所需正交阵
由 $A = QR$ 得 $Q^T A = R$。令 $Q' = Q^T$，则 $Q'$ 是正交阵，且 $Q'A = R$ 是上三角矩阵且对角元全为正数。因此存在正交阵 $Q$（即 $Q'$）使得 $QA$ 为上三角阵且对角元全为正数。
提示：注意 $Q^T$ 也是正交阵，因为正交阵的转置仍是正交阵。
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