厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
五．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), 0<\operatorname{rank} A<n, \operatorname{rank} A=\operatorname{rank} A^{2}$ ，证明：存在可逆矩阵 $P$ 及可逆矩阵 $B$ 使得 $\displaystyle A=P \operatorname{diag}(B, O) P^{-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设秩并分析条件
设 $r = \operatorname{rank} A$，由条件 $0 < r < n$ 且 $\operatorname{rank} A = \operatorname{rank} A^2$。
提示：注意 $r$ 严格介于 $0$ 和 $n$ 之间，且秩相等条件至关重要。
步骤 2/5
目标：考虑Jordan标准形
考虑 $A$ 的 Jordan 标准形 $J$。由于 $A$ 是复数域上的矩阵，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P J P^{-1}$，其中 $J$ 由 Jordan 块组成。
公式：A = P J P^{-1}
提示：Jordan标准形存在性依赖于复数域，但结论对任意代数闭域成立。
步骤 3/5
目标：分析零特征值Jordan块
设 $J$ 中零特征值对应的 Jordan 块。若存在大小 $\geq 2$ 的零特征值 Jordan 块，则 $\operatorname{rank} A^2 < \operatorname{rank} A$，与条件矛盾。因此所有零特征值 Jordan 块的大小均为 $1$。
公式：若 $J_k(0)$ 是 $k \times k$ 零特征值 Jordan 块且 $k \geq 2$，则 $\operatorname{rank} J_k(0)^2 = k-2 < k-1 = \operatorname{rank} J_k(0)$
提示：注意零特征值Jordan块幂的秩变化：$\operatorname{rank} J_k(0)^m = \max(0, k-m)$。
步骤 4/5
目标：确定Jordan标准形结构
因此，$J$ 中零特征值对应的 Jordan 块均为 $1 \times 1$ 的零矩阵，个数为 $n - r$（因为 $\operatorname{rank} A = r$，零特征值的代数重数为 $n - r$）。非零特征值对应的 Jordan 块构成一个 $r \times r$ 的可逆矩阵 $B$。于是 $J = \operatorname{diag}(B, O)$，其中 $B$ 可逆，$O$ 是 $n-r$ 阶零矩阵。
公式：J = \operatorname{diag}(B, O)
提示：注意非零特征值对应的Jordan块都是可逆的，因为特征值非零。
步骤 5/5
目标：得到相似关系
由 $A = P J P^{-1}$ 及 $J = \operatorname{diag}(B, O)$，即得 $A = P \operatorname{diag}(B, O) P^{-1}$，其中 $P$ 可逆，$B \in M_r(\mathbb{C})$ 可逆。
公式：A = P \operatorname{diag}(B, O) P^{-1}
提示：注意 $P$ 是Jordan标准形变换矩阵，$B$ 由非零特征值Jordan块组成。
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