厦门大学 2023年高等代数第0题

设 $\varphi$ 的特征多项式为 $\chi_\varphi(x)=\prod_{i=1}^k (x-\lambda_i)^{m_i}$，其中 $\lambda_i$ 互异，$m_i$ 为代数重数。由Jordan标准形理论，$V$ 可分解为根子空间的直和：$V=\bigoplus_{i=1}^k V_i$，其中 $V_i=\ker(\varphi-\lambda_i I)^{m_i}$。在每个 $V_i$ 上，$\varphi$ 限制为 $\varphi_i$，且 $\varphi_i-\lambda_i I$ 是幂零变换。

对每个特征值 $\lambda_i$，设 $d_i$ 为 $\varphi$ 的Jordan标准形中对应 $\lambda_i$ 的最大Jordan块尺寸。即 $d_i = \max\{ \text{size of Jordan blocks for } \lambda_i \}$。则 $\varphi_i-\lambda_i I$ 的幂零指数为 $d_i$。

由Hermite插值定理，存在多项式 $f(x)\in\mathbb{C}[x]$ 满足：对每个 $i=1,\dots,k$，有 $f(\lambda_i)=1$，且 $f^{(j)}(\lambda_i)=0$ 对 $j=1,\dots,d_i-1$。这样的多项式存在，因为条件总数为 $\sum_{i=1}^k d_i \leq n$，且 $\mathbb{C}$ 是代数闭域。

考虑 $\varphi$ 的一个Jordan块 $J(\lambda_i, d)$（$d\leq d_i$）。则 $\varphi$ 在该块上表示为 $J=\lambda_i I + N$，其中 $N$ 是幂零矩阵，满足 $N^d=0$ 且 $N^{d-1}\neq 0$。由于 $f$ 在 $\lambda_i$ 处的导数条件，$f(J)$ 可展开为 $f(J)=f(\lambda_i)I + f'(\lambda_i)N + \cdots + \frac{f^{(d-1)}(\lambda_i)}{(d-1)!}N^{d-1}=I$。因此 $\sigma = J f(J) = J \cdot I = J$？这不对，实际上 $\sigma = \varphi f(\varphi)$，在Jordan块上为 $J f(J)$。由于 $f(J)=I$，故 $J f(J)=J$，这并未对角化。重新检查：$\sigma = \varphi f(\varphi)$，但 $f(\varphi)$ 是多项式，$\varphi$ 与 $f(\varphi)$ 可交换。在Jordan块上，$J f(J)$ 应等于 $\lambda_i I$ 吗？实际上，若 $f(J)=I$，则 $J f(J)=J$，不是标量矩阵。因此需要调整：我们要求 $\sigma$ 可对角化且特征值不变，即 $\sigma$ 在Jordan块上应为 $\lambda_i I$。这要求 $J f(J) = \lambda_i I$，即 $f(J) = \lambda_i J^{-1}$（若 $\lambda_i\neq0$）或更一般地，$f$ 需满足 $f(\lambda_i)=1$ 且 $f^{(j)}(\lambda_i)=0$ 对于 $j\geq1$ 是否足够？计算 $J f(J)$：设 $J=\lambda I+N$，则 $J f(J) = (\lambda I+N) f(\lambda I+N)$。由于 $f$ 在 $\lambda$ 处有 $f(\lambda)=1$ 且 $f'(\lambda)=0$，$f''(\lambda)=0$ 等，则 $f(\lambda I+N)=I + \frac{f''(\lambda)}{2!}N^2+\cdots$，但 $f'(\lambda)=0$ 所以 $N$ 项消失。于是 $J f(J) = (\lambda I+N)(I + \text{higher terms}) = \lambda I + N + \text{terms of order }\geq2$。这仍然有 $N$ 项，除非 $N=0$。因此，仅要求 $f(\lambda_i)=1$ 和 $f^{(j)}(\lambda_i)=0$ 对于 $j=1,\dots,d_i-1$ 并不能使 $J f(J)=\lambda_i I$，因为 $N$ 项仍存在。实际上，我们需要 $f$ 满足 $f(\lambda_i)=1$ 且 $f^{(j)}(\lambda_i)=0$ 对于 $j=1,\dots,2d_i-2$？或者考虑另一种构造：令 $g(x)=x f(x)$，则 $\sigma = g(\varphi)$。我们希望 $g(\varphi)$ 可对角化且特征值不变，即 $g(\lambda_i)=\lambda_i$ 且 $g$ 在 $\lambda_i$ 处的导数条件使得 $g(\varphi)$ 的Jordan块为1×1。对于Jordan块 $J(\lambda,d)$，$g(J)$ 的特征值为 $g(\lambda)$，且 $g(J)-g(\lambda)I$ 的幂零指数取决于 $g$ 在 $\lambda$ 处的导数。要使 $g(J)$ 可对角化，需 $g'(\lambda)=0$，$g''(\lambda)=0$，...，直到 $g^{(d-1)}(\lambda)=0$。这样 $g(J)=g(\lambda)I$。因此，我们要求 $g(\lambda_i)=\lambda_i$ 且 $g^{(j)}(\lambda_i)=0$ 对 $j=1,\dots,d_i-1$。那么 $f(x)=g(x)/x$ 在 $\lambda_i\neq0$ 时定义，但 $\lambda_i=0$ 需单独处理。由于 $\varphi$ 可能奇异，需考虑零特征值。若 $\lambda_i=0$，则 $g(0)=0$，且 $g^{(j)}(0)=0$ 对 $j=1,\dots,d_i-1$，则 $g(\varphi)$ 在零特征值Jordan块上为0，但特征值0不变。此时 $f$ 在0处无定义，但多项式 $f$ 可定义为 $f(x)=g(x)/x$ 在 $x\neq0$，且由于 $g(0)=0$，$g(x)/x$ 是多项式。因此，构造 $g(x)\in\mathbb{C}[x]$ 满足 $g(\lambda_i)=\lambda_i$ 且 $g^{(j)}(\lambda_i)=0$ 对 $j=1,\dots,d_i-1$，则 $\sigma=g(\varphi)$ 可对角化且特征值不变。令 $f(x)=g(x)/x$（若 $x=0$ 则定义 $f(0)=g'(0)$），则 $\sigma=\varphi f(\varphi)$。

由构造，$g(\varphi)$ 在每个Jordan块上为标量矩阵 $\lambda_i I$，故 $\sigma=g(\varphi)$ 可对角化。$\sigma$ 的特征值为 $\lambda_i$，且代数重数等于 $\varphi$ 的代数重数 $m_i$，因此 $\sigma$ 的特征多项式为 $\prod_{i=1}^k (x-\lambda_i)^{m_i}$，与 $\varphi$ 相同。

因此，存在多项式 $f(x)\in\mathbb{C}[x]$ 使得 $\sigma=\varphi f(\varphi)$ 可对角化，且 $\sigma$ 与 $\varphi$ 有相同的特征多项式。