厦门大学 2023年高等代数第0题

由于$A$正定，其对角元$a_{ii}>0$。令$D=\operatorname{diag}(a_{11},a_{22},\dots,a_{nn})$，则$D$正定可逆。令$B=D-A$，则$B$的对角元为0，非对角元$b_{ij}=-a_{ij}>0$（因为$a_{ij}<0$），所以$B$是非负矩阵。于是$A=D-B=D(I-D^{-1}B)$。

由于$A$正定，对任意非零向量$y$有$y^T A y = y^T D y - y^T B y > 0$，即$y^T D y > y^T B y$。设$\lambda$是$D^{-1}B$的特征值，$x$为对应特征向量，则$D^{-1}B x = \lambda x$，即$B x = \lambda D x$。两边左乘$x^T$得$x^T B x = \lambda x^T D x$。由于$D$正定，$x^T D x > 0$，且由正定性有$x^T D x > x^T B x$，故$\lambda = \frac{x^T B x}{x^T D x} < 1$。因此$\rho(D^{-1}B) < 1$。

由于$\rho(D^{-1}B) < 1$，级数$\sum_{k=0}^{\infty} (D^{-1}B)^k$收敛，且$(I - D^{-1}B)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} (D^{-1}B)^k$。于是$A^{-1} = (D(I - D^{-1}B))^{-1} = (I - D^{-1}B)^{-1} D^{-1} = \left( \sum_{k=0}^{\infty} (D^{-1}B)^k \right) D^{-1}$。

$D^{-1}$是对角矩阵，对角元为正；$D^{-1}B$是非负矩阵，故$(D^{-1}B)^k$也是非负矩阵。因此级数$\sum_{k=0}^{\infty} (D^{-1}B)^k$的每个元素非负，且至少$k=0$时为单位矩阵，有正对角元。乘以$D^{-1}$后仍非负。为证严格正，需说明$A$不可约。由于$A$的非对角元均小于0，$A$是Z-矩阵且正定，故为M-矩阵，其逆矩阵为正矩阵。严格地，$D^{-1}B$的图是强连通的（因为$A$不可约），从而$D^{-1}B$是不可约非负矩阵，由Perron-Frobenius定理，存在正特征向量，且级数中从任意$i$到$j$存在路径，故$(D^{-1}B)^m$的$(i,j)$元为正，因此$A^{-1}$的所有元素大于0。