厦门大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
四．$\displaystyle A \in M_{n}(\mathbb{C}), f(x) \in \mathbb{C}[\mathbf{x}], g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$\displaystyle (f, g)=d(x)$ ，证明：
$\displaystyle (1) \operatorname{rank}(f(A))=\operatorname{rank}(d(A)) ; \quad(2) f(A)$ 可逆 $\displaystyle \Leftrightarrow(f, g)=1$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：引入最小多项式和最大公因式
设 $g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式，$f(x) \in \mathbb{C}[x]$，且 $(f, g) = d(x)$。则存在多项式 $u(x), v(x)$ 使得 $d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$。
公式：d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)
提示：注意最大公因式的表示，$u(x), v(x)$ 的存在性由辗转相除法保证。
步骤 2/6
目标：证明 rank(f(A)) ≤ rank(d(A))
由于 $d(x) \mid f(x)$，设 $f(x) = d(x)h(x)$，则 $f(A) = d(A)h(A)$。因此 $\operatorname{rank}(f(A)) \leq \operatorname{rank}(d(A))$。
公式：f(A) = d(A)h(A)
提示：注意矩阵乘积的秩不超过任一因子的秩。
步骤 3/6
目标：证明 rank(d(A)) ≤ rank(f(A))
由 $d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$ 得 $d(A) = u(A)f(A) + v(A)g(A)$。由于 $g(A)=0$，故 $d(A) = u(A)f(A)$，从而 $\operatorname{rank}(d(A)) \leq \operatorname{rank}(f(A))$。
公式：d(A) = u(A)f(A)
提示：注意 $g(A)=0$ 是关键，因为 $g(x)$ 是 $A$ 的最小多项式。
步骤 4/6
目标：得出 rank 相等结论
由前两步得 $\operatorname{rank}(f(A)) \leq \operatorname{rank}(d(A))$ 且 $\operatorname{rank}(d(A)) \leq \operatorname{rank}(f(A))$，因此 $\operatorname{rank}(f(A)) = \operatorname{rank}(d(A))$。
提示：不等式两边夹得到相等。
步骤 5/6
目标：将可逆性转化为特征值条件
$f(A)$ 可逆当且仅当 $\det f(A) \neq 0$，即 $f(A)$ 的特征值全非零。由于 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ 满足 $g(\lambda)=0$，且 $f(\lambda)$ 是 $f(A)$ 的特征值，故 $f(A)$ 可逆当且仅当对 $A$ 的每个特征值 $\lambda$ 有 $f(\lambda) \neq 0$。
提示：注意 $f(A)$ 的特征值是 $f(\lambda)$，其中 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。
步骤 6/6
目标：将特征值条件转化为多项式互素条件
$(f,g)=1$ 当且仅当 $f$ 与 $g$ 无公共根，即对 $g$ 的每个根 $\lambda$ 有 $f(\lambda) \neq 0$。由于 $g$ 的根恰为 $A$ 的特征值，故 $f(A)$ 可逆 $\Leftrightarrow (f,g)=1$。
提示：注意最小多项式 $g$ 的根就是 $A$ 的所有特征值。
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