厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $n$ 阶方阵 $A$ 的列分块为 $A=\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}\right), \operatorname{det}(A)=1$ ，令
$$
B=\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}, 2 \alpha_{2}-\alpha_{3}, \cdots,(n-1) \alpha_{n-1}-\alpha_{n}, n \alpha_{n}-\alpha_{1}\right) .
$$
求 $\operatorname{det}(B)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将B表示为A乘以系数矩阵C
设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，$B = (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n)$，其中 $\beta_1 = \alpha_1 - \alpha_2$，$\beta_2 = 2\alpha_2 - \alpha_3$，$\dots$，$\beta_{n-1} = (n-1)\alpha_{n-1} - \alpha_n$，$\beta_n = n\alpha_n - \alpha_1$。则 $B = A C$，其中 $C$ 的第 $j$ 列为 $\beta_j$ 在基 $\{\alpha_1, \dots, \alpha_n\}$ 下的坐标。
公式：B = A C
提示：注意列向量线性组合的系数矩阵写法，C的每一列对应一个β_j的系数。
步骤 2/7
目标：写出系数矩阵C的具体形式
根据各 $\beta_j$ 的表达式：
- $\beta_1 = 1\cdot\alpha_1 + (-1)\cdot\alpha_2$，所以第一列为 $(1, -1, 0, \dots, 0)^T$。
- $\beta_2 = 0\cdot\alpha_1 + 2\cdot\alpha_2 + (-1)\cdot\alpha_3$，所以第二列为 $(0, 2, -1, 0, \dots, 0)^T$。
- 一般地，对于 $j=1,\dots,n-1$，$\beta_j = j\alpha_j - \alpha_{j+1}$，所以第 $j$ 列除第 $j$ 行为 $j$，第 $j+1$ 行为 $-1$ 外，其余为 $0$。
- $\beta_n = n\alpha_n - \alpha_1$，所以第 $n$ 列为 $(-1, 0, \dots, 0, n)^T$。
因此
$$C = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \dots & 0 & -1 \\
-1 & 2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
0 & -1 & 3 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & -1 & n-1 & 0 \\
0 & 0 & \dots & 0 & -1 & n
\end{pmatrix}.$$
提示：注意最后一列的第一个元素是-1，最后一个元素是n，其余为0。
步骤 3/7
目标：利用行列式乘法公式简化
由于 $B = A C$，且 $\det(A)=1$，所以 $\det(B) = \det(A) \cdot \det(C) = \det(C)$。因此只需计算 $\det(C)$。
公式：det(B) = det(A) det(C)
提示：注意行列式乘法公式要求矩阵同阶，这里满足。
步骤 4/7
目标：按第一行展开计算det(C)
设 $D_n = \det(C)$。按第一行展开：
$$D_n = 1 \cdot \det\begin{pmatrix}
2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\
-1 & 3 & \dots & 0 & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & \dots & -1 & n-1 & 0 \\
0 & \dots & 0 & -1 & n
\end{pmatrix}_{(n-1)\times (n-1)} + (-1)^{1+n} \cdot (-1) \cdot \det\begin{pmatrix}
-1 & 2 & 0 & \dots & 0 \\
0 & -1 & 3 & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & -1 & n-1 \\
0 & 0 & \dots & 0 & -1
\end{pmatrix}_{(n-1)\times (n-1)}.$$
公式：行列式按行展开公式
提示：注意符号：第一行第1列元素1的代数余子式符号为正；第一行第n列元素-1的代数余子式符号为(-1)^(1+n)。
步骤 5/7
目标：计算两个子行列式
第一个子式是下三角矩阵，对角线元素为 $2,3,\dots,n$，所以其行列式为 $2\cdot3\cdots n = n!$。
第二个子式是上三角矩阵，对角线元素均为 $-1$，所以其行列式为 $(-1)^{n-1}$。
公式：三角矩阵的行列式等于对角线元素乘积
提示：注意第一个子式是下三角，第二个是上三角，但都是三角矩阵，直接乘积即可。
步骤 6/7
目标：合并结果得到det(C)
代入展开式：
$$D_n = n! + (-1)^{1+n} \cdot (-1) \cdot (-1)^{n-1} = n! + (-1)^{1+n} \cdot (-1)^{n} = n! + (-1)^{2n+1} = n! - 1.$$
因为 $(-1)^{2n+1} = -1$。所以 $\det(C) = n! - 1$。
提示：注意指数运算：(-1)^(1+n) * (-1) = (-1)^(n+2) = (-1)^n，再乘(-1)^(n-1)得(-1)^(2n-1)=(-1)^(2n+1)=-1。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此 $\det(B) = \det(C) = n! - 1$。
提示：最终答案应写成 $n!-1$，注意 $n!$ 表示阶乘。
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