厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．设 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+k x_{2}^{2}+8 x_{3}^{2}+2 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 k x_{2} x_{3}$ 是正定二次型，求 $k$ 的取值范围 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+kx_2^2+8x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3+4kx_2x_3$ 的矩阵 $A$ 是对称矩阵，其元素由二次型系数确定：$a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为交叉项系数的一半。因此，$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 2k \\ 2 & 2k & 8 \end{pmatrix}$。
公式：二次型 $f=\mathbf{x}^T A \mathbf{x}$，其中 $A$ 对称。
提示：注意交叉项系数要除以2，例如 $2x_1x_2$ 对应 $a_{12}=1$。
步骤 2/7
目标：回顾正定二次型的充要条件
实二次型 $f$ 正定的充要条件是它的矩阵 $A$ 的各阶顺序主子式都大于零。即 $\Delta_1>0$，$\Delta_2>0$，$\Delta_3>0$。
公式：顺序主子式 $\Delta_k = \det(A_{k\times k})$。
提示：注意顺序主子式是从左上角开始取子式，不是任意主子式。
步骤 3/7
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = a_{11} = 1 > 0$，恒成立。
提示：一阶主子式就是第一个对角元，这里自动满足。
步骤 4/7
目标：计算二阶顺序主子式并求解不等式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & k \end{vmatrix} = 1\cdot k - 1\cdot 1 = k-1$。令 $\Delta_2 > 0$，得 $k > 1$。
公式：二阶行列式公式 $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$。
提示：注意符号，不要漏掉负号。
步骤 5/7
目标：计算三阶顺序主子式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & k & 2k \\ 2 & 2k & 8 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$\Delta_3 = 1\cdot \begin{vmatrix} k & 2k \\ 2k & 8 \end{vmatrix} - 1\cdot \begin{vmatrix} 1 & 2k \\ 2 & 8 \end{vmatrix} + 2\cdot \begin{vmatrix} 1 & k \\ 2 & 2k \end{vmatrix}$。
计算各子式：
$\begin{vmatrix} k & 2k \\ 2k & 8 \end{vmatrix} = 8k - 4k^2$，
$\begin{vmatrix} 1 & 2k \\ 2 & 8 \end{vmatrix} = 8 - 4k$，
$\begin{vmatrix} 1 & k \\ 2 & 2k \end{vmatrix} = 2k - 2k = 0$。
代入得 $\Delta_3 = (8k-4k^2) - (8-4k) + 0 = -4k^2 + 12k - 8$。
公式：三阶行列式展开公式。
提示：展开时注意符号：第二项系数为负，第三项系数为正。
步骤 6/7
目标：求解三阶顺序主子式的不等式
令 $\Delta_3 > 0$，即 $-4k^2 + 12k - 8 > 0$。两边除以 $-4$（不等号方向改变）得 $k^2 - 3k + 2 < 0$。因式分解得 $(k-1)(k-2) < 0$，解得 $1 < k < 2$。
公式：二次不等式解法。
提示：除以负数时注意不等号方向要反转。
步骤 7/7
目标：综合各阶主子式条件得出最终范围
由 $\Delta_2>0$ 得 $k>1$，由 $\Delta_3>0$ 得 $1
提示：注意两个条件需同时满足，取交集。
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