厦门大学 2026年高等代数第0题

观察矩阵 $A$，发现其左上角和右下角各有一个 $2\times 2$ 子块，其余元素为0，因此 $A$ 是分块对角矩阵：$A = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & C \end{pmatrix}$，其中 $B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，$C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$。

对于 $2\times 2$ 矩阵 $B = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，其逆矩阵公式为 $B^{-1} = \frac{1}{\det(B)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。计算 $\det(B) = 1\cdot 1 - (-2)\cdot 1 = 1+2=3$，所以 $B^{-1} = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$。

对于 $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$，计算 $\det(C) = 1\cdot 2 - 0\cdot 3 = 2$，所以 $C^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。

由于 $A$ 是分块对角矩阵，其逆矩阵为 $A^{-1} = \begin{pmatrix} B^{-1} & 0 \\ 0 & C^{-1} \end{pmatrix}$。将 $B^{-1}$ 和 $C^{-1}$ 代入，得到 $A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$。

验证 $A \cdot A^{-1}$ 是否为单位矩阵。计算 $A A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} & 0 & 0 \\ -\frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，结果正确。