厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．向量 $\alpha_{1}=(a, 1,-1,1), \alpha_{2}=(1,1, b, a), \alpha_{3}=(1, a, 1,-1)$ ．当 $a=$ $\_\_\_\_$时，对任意 $b$ 都使得向量组 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 的秩为 2 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意与转化条件
题目要求：对任意 $b$，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的秩为 2。这意味着向量组线性相关且秩为 2，即所有 $3 \times 3$ 子式为零，且存在 $2 \times 2$ 子式非零。由于对任意 $b$ 成立，需使 $b$ 的系数为零。
提示：注意向量是四维的，矩阵为 $4 \times 3$，秩为 2 等价于所有 $3 \times 3$ 子式为零。
步骤 2/7
目标：构造矩阵并计算一个3阶子式
考虑前三个分量构成的 $3 \times 3$ 子式：
$$
\begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a \\
-1 & b & 1
\end{vmatrix}
= a(1 - ab) - (1 + a) + (b + 1) = b(1 - a^2).
$$
公式：行列式展开公式
提示：计算时注意符号，避免代数错误。
步骤 3/7
目标：由子式为零推出a的条件
要使对任意 $b$ 该子式为零，需 $1 - a^2 = 0$，即 $a = \pm 1$。
提示：注意“对任意b”意味着b的系数必须为零。
步骤 4/7
目标：验证其他3阶子式
取第1,2,4行构成的子式：
$$
\begin{vmatrix}
a & 1 & 1 \\
1 & 1 & a \\
1 & a & -1
\end{vmatrix}
= a(-1 - a^2) - (-1 - a) + (a - 1) = a(1 - a^2).
$$
当 $a = \pm 1$ 时，该子式也为零。类似地，其他子式也会为零。
提示：只需验证一个典型子式，其余类似。
步骤 5/7
目标：检查秩是否为2：a=1的情况
当 $a=1$ 时，向量组为：
$\alpha_1=(1,1,-1,1)$, $\alpha_2=(1,1,b,1)$, $\alpha_3=(1,1,1,-1)$。
取前两行前两列子式：$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}=0$。
取第1,3行前两列子式：$\begin{vmatrix}1 & 1 \\ -1 & b\end{vmatrix}=b+1$，当 $b=-1$ 时为零，此时 $\alpha_1=\alpha_2$，秩为1。故 $a=1$ 不满足。
提示：需检查是否存在一个二阶子式恒非零，但这里对任意b不成立。
步骤 6/7
目标：检查秩是否为2：a=-1的情况
当 $a=-1$ 时，向量组为：
$\alpha_1=(-1,1,-1,1)$, $\alpha_2=(1,1,b,-1)$, $\alpha_3=(1,-1,1,-1)$。
取前两行前两列子式：$\begin{vmatrix}-1 & 1 \\ 1 & 1\end{vmatrix}=-2 \neq 0$。
因此对任意 $b$，存在非零二阶子式，且所有三阶子式为零，故秩为2。
提示：只需找到一个非零二阶子式即可。
步骤 7/7
目标：得出结论
综上所述，满足条件的 $a$ 值为 $a = -1$。
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