厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．设 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $R(A)=4, R\left(A^{3}\right)=1$ ，且 $R\left(A^{2}\right)>R\left(A^{3}\right)$ ，则 $R\left(A^{2}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析已知条件
已知 $n$ 阶方阵 $A$ 满足 $R(A)=4$，$R(A^3)=1$，且 $R(A^2)>R(A^3)$。我们需要求 $R(A^2)$。
提示：注意秩的条件与Jordan标准形的关系。
步骤 2/7
目标：考虑Jordan标准形
设 $A$ 的Jordan标准形为 $J$。由于 $R(A)=4$，零特征值的几何重数为 $n-4$，即零特征值有 $n-4$ 个Jordan块。非零特征值部分，因为 $R(A^3)=1$，且 $A^3$ 的秩为1，所以非零特征值只能有一个，且其Jordan块大小为1（否则 $A^3$ 的秩会更大）。因此，$A$ 有一个1阶非零特征值块，其余为特征值0的Jordan块。
提示：非零特征值对应的Jordan块大小必须为1，否则 $A^3$ 的秩会大于1。
步骤 3/7
目标：零特征值Jordan块的大小限制
设零特征值的Jordan块大小分别为 $d_1, d_2, \ldots, d_{n-4}$，总阶数为 $n-1$（因为有一个1阶非零块）。由于 $R(A^3)=1$ 且非零块贡献1，零特征值块贡献的秩必须为0，即每个 $J(0,d_i)^3=0$，所以 $d_i \le 3$。
提示：幂零Jordan块的幂的秩：$J(0,d)^k$ 的秩为 $\max(d-k,0)$。
步骤 4/7
目标：引入变量表示块个数
设大小为3的零特征值Jordan块有 $a$ 个，大小为2的有 $b$ 个，大小为1的有 $c$ 个。则几何重数条件：$a+b+c = n-4$；总阶数条件：$3a+2b+c = n-1$。两式相减得 $2a+b = 3$。
公式：$2a+b=3$
提示：注意几何重数等于零特征值Jordan块的个数。
步骤 5/7
目标：计算 $R(A^2)$ 的表达式
$A^2$ 的秩由非零块贡献1加上零特征值块贡献的 $J(0,d)^2$ 的秩之和。大小为3的块贡献 $J(0,3)^2$ 的秩为1，大小为2的块贡献0，大小为1的块贡献0。所以 $R(A^2)=1+a$。
公式：$R(A^2)=1+a$
提示：只有大小为3的零特征值块对 $A^2$ 的秩有贡献。
步骤 6/7
目标：利用条件 $R(A^2)>R(A^3)$ 确定 $a$
已知 $R(A^3)=1$，条件 $R(A^2)>1$ 即 $1+a>1$，所以 $a \ge 1$。结合 $2a+b=3$ 且 $a,b$ 为非负整数，解得 $a=1, b=1$，进而 $c=n-6$。
提示：注意 $a$ 不能为0，且 $2a+b=3$ 只有一组非负整数解。
步骤 7/7
目标：得出 $R(A^2)$
代入 $a=1$ 得 $R(A^2)=1+1=2$。
提示：最终结果与 $n$ 无关。
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