厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $\varphi$ 是 10 维线性空间 $V$ 到 12 维线性空间 $U$ 的线性映射，则 $\operatorname{dim} \operatorname{Im} \varphi+\operatorname{dim} \operatorname{Ker} \varphi=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别已知条件
题目给出：$\varphi$ 是 10 维线性空间 $V$ 到 12 维线性空间 $U$ 的线性映射。因此，$\dim V = 10$，$\dim U = 12$。
提示：注意区分 $V$ 和 $U$ 的维数，不要混淆。
步骤 2/4
目标：回忆维数公式
对于线性映射 $\varphi: V \to U$，有维数公式（秩-零化度定理）：
$$\dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \operatorname{Ker} \varphi = \dim V.$$
公式：$$\dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \operatorname{Ker} \varphi = \dim V$$
提示：维数公式中右边是定义域 $V$ 的维数，而不是陪域 $U$ 的维数。
步骤 3/4
目标：代入已知维数
将 $\dim V = 10$ 代入维数公式，得到：
$$\dim \operatorname{Im} \varphi + \dim \operatorname{Ker} \varphi = 10.$$
提示：代入时注意不要写成 $\dim U$。
步骤 4/4
目标：得出结果
因此，所求的值为 $10$。
提示：结果是一个数值，与 $U$ 的维数无关。
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