厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．设多项式 $f(x)=x^{5}+x^{4}-x^{3}+2 x^{2}-x-2$ ，则它在有理数域上的标准分解式为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：寻找有理根
根据有理根定理，多项式 $f(x)=x^5+x^4-x^3+2x^2-x-2$ 的有理根可能为 $\pm 1, \pm 2$。计算 $f(1)=1+1-1+2-1-2=0$，因此 $x=1$ 是一个根。
公式：有理根定理：若 $p/q$ 是整系数多项式的有理根，则 $p$ 整除常数项，$q$ 整除首项系数。
提示：注意检查所有可能的有理根，不要遗漏正负号。
步骤 2/6
目标：第一次综合除法
使用综合除法将 $f(x)$ 除以 $(x-1)$：
\[
\begin{array}{r|rrrrrr}
1 & 1 & 1 & -1 & 2 & -1 & -2 \\
& & 1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\
\hline
& 1 & 2 & 1 & 3 & 2 & 0 \\
\end{array}
\]
得到 $f(x)=(x-1)(x^4+2x^3+x^2+3x+2)$。
公式：综合除法步骤：将根写在左边，系数写在右边，逐次下拉、相乘、相加。
提示：综合除法时系数要按降幂排列，缺项补0。
步骤 3/6
目标：继续寻找有理根
对四次多项式 $g(x)=x^4+2x^3+x^2+3x+2$ 再次使用有理根定理，可能根仍为 $\pm1, \pm2$。计算 $g(-1)=1-2+1-3+2=-1\neq0$，$g(-2)=16-16+4-6+2=0$，因此 $x=-2$ 是根。
公式：同上。
提示：注意代入计算时要仔细，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：第二次综合除法
用综合除法将 $g(x)$ 除以 $(x+2)$：
\[
\begin{array}{r|rrrrr}
-2 & 1 & 2 & 1 & 3 & 2 \\
& & -2 & 0 & -2 & -2 \\
\hline
& 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
\end{array}
\]
得到 $g(x)=(x+2)(x^3+0x^2+x+1)=(x+2)(x^3+x+1)$。
公式：综合除法。
提示：注意商式的系数：中间有0项不能省略。
步骤 5/6
目标：判断三次多项式的可约性
考虑三次多项式 $h(x)=x^3+x+1$。可能的有理根为 $\pm1$。计算 $h(1)=3\neq0$，$h(-1)=-1\neq0$，故无有理根。由于三次多项式若可约必有一次因子，因此 $h(x)$ 在有理数域上不可约。
公式：有理根定理；三次多项式可约性判定：若无有理根则不可约。
提示：注意：三次多项式无有理根即不可约，但更高次多项式需考虑二次因子。
步骤 6/6
目标：写出标准分解式
综合以上结果，$f(x)$ 在有理数域上的标准分解式为：
\[
f(x)=(x-1)(x+2)(x^3+x+1)
\]
提示：分解式要写成乘积形式，不可约多项式保留原样。
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