厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．设 3 阶方阵 $A$ 有 3 个特征值 $-1,-2,-3$ ，则 $\operatorname{det}\left(A+A^{*}\right)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算矩阵A的行列式
由于矩阵A的特征值为-1, -2, -3，且A为3阶方阵，则A的行列式等于所有特征值的乘积：
$$\det(A) = (-1) \times (-2) \times (-3) = -6.$$
公式：$$\det(A) = \prod_{i=1}^n \lambda_i$$
提示：注意特征值的乘积即为行列式，但需考虑特征值的重数，此处均为单根。
步骤 2/6
目标：利用伴随矩阵与逆矩阵的关系
因为A可逆（特征值均非零），伴随矩阵与逆矩阵的关系为：
$$A^* = \det(A) \cdot A^{-1}.$$
代入$\det(A) = -6$得：
$$A^* = -6 A^{-1}.$$
公式：$$A^* = \det(A) A^{-1}$$
提示：伴随矩阵的定义：$A^* = \det(A) A^{-1}$，仅当A可逆时成立。
步骤 3/6
目标：表示A+A*
将$A^*$代入$A+A^*$：
$$A + A^* = A + (-6 A^{-1}) = A - 6A^{-1}.$$
提示：注意符号，不要漏掉负号。
步骤 4/6
目标：推导A+A*的特征值
设$\lambda$是A的特征值，对应的特征向量为$\mathbf{x}$，则$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$。由于A可逆，$A^{-1}\mathbf{x} = \frac{1}{\lambda} \mathbf{x}$。因此：
$$(A - 6A^{-1})\mathbf{x} = A\mathbf{x} - 6A^{-1}\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x} - \frac{6}{\lambda} \mathbf{x} = \left(\lambda - \frac{6}{\lambda}\right) \mathbf{x}.$$
所以$A+A^*$的特征值为$\lambda - \frac{6}{\lambda}$。
公式：若$A\mathbf{x} = \lambda \mathbf{x}$，则$f(A)\mathbf{x} = f(\lambda)\mathbf{x}$，其中$f$为多项式或有理函数。
提示：注意$A^{-1}$的特征值是$\lambda^{-1}$，但需确保$\lambda \neq 0$。
步骤 5/6
目标：计算A+A*的特征值
将A的特征值$-1, -2, -3$代入$\lambda - \frac{6}{\lambda}$：
- 当$\lambda = -1$时，特征值为$-1 - \frac{6}{-1} = -1 + 6 = 5$；
- 当$\lambda = -2$时，特征值为$-2 - \frac{6}{-2} = -2 + 3 = 1$；
- 当$\lambda = -3$时，特征值为$-3 - \frac{6}{-3} = -3 + 2 = -1$。
所以$A+A^*$的特征值为$5, 1, -1$。
提示：计算时注意负号，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：计算行列式
矩阵的行列式等于其特征值的乘积（考虑重数），因此：
$$\det(A+A^*) = 5 \times 1 \times (-1) = -5.$$
公式：$$\det(B) = \prod_{i=1}^n \mu_i$$，其中$\mu_i$为B的特征值。
提示：注意特征值的顺序不影响乘积，但需确保所有特征值均被计入。
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