厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．若 $n$ 阶方阵 $A$ 的元素全为 1 ，则其极小多项式为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵表示为秩1形式
设 $\mathbf{1}$ 为 $n$ 维全1列向量，则 $n$ 阶全1矩阵 $A$ 可表示为 $A = \mathbf{1} \mathbf{1}^T$。
公式：A = \mathbf{1} \mathbf{1}^T
提示：注意 $\mathbf{1}$ 是列向量，$\mathbf{1}^T$ 是行向量。
步骤 2/7
目标：计算特征值
由于 $A$ 的秩为1，且 $A\mathbf{1} = \mathbf{1} \mathbf{1}^T \mathbf{1} = n \mathbf{1}$，所以 $\mathbf{1}$ 是特征向量，对应特征值 $n$。其余 $n-1$ 个特征值为0，对应的特征向量为与 $\mathbf{1}$ 正交的向量。
公式：A\mathbf{1} = n\mathbf{1}
提示：秩1矩阵的非零特征值等于迹，此处迹为 $n$。
步骤 3/7
目标：写出特征多项式
特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^{n-1}(\lambda - n)$。
公式：f(\lambda) = \lambda^{n-1}(\lambda - n)
提示：特征多项式是 $\det(\lambda I - A)$，但可直接由特征值得出。
步骤 4/7
目标：判断可对角化性
$A$ 是实对称矩阵，因此可对角化。特征值0的几何重数等于代数重数 $n-1$，故每个特征值对应的Jordan块都是一阶的。
提示：实对称矩阵必可对角化，这是关键性质。
步骤 5/7
目标：确定极小多项式形式
由于可对角化，极小多项式无重根，且根为所有不同的特征值。特征值为 $0$ 和 $n$，故极小多项式为 $m(\lambda) = \lambda(\lambda - n)$。
公式：m(\lambda) = \lambda(\lambda - n)
提示：极小多项式是首一多项式，且次数等于不同特征值的个数。
步骤 6/7
目标：验证极小多项式
计算 $A(A - nI) = A^2 - nA$。由于 $A^2 = (\mathbf{1} \mathbf{1}^T)(\mathbf{1} \mathbf{1}^T) = \mathbf{1}(\mathbf{1}^T \mathbf{1})\mathbf{1}^T = n \mathbf{1} \mathbf{1}^T = nA$，所以 $A^2 - nA = 0$，即 $m(A)=0$。
公式：A^2 = nA
提示：验证时注意矩阵乘法顺序，$\mathbf{1}^T \mathbf{1} = n$。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此，$A$ 的极小多项式为 $\lambda(\lambda - n)$。
提示：答案应写为 $\lambda(\lambda - n)$ 或 $x(x-n)$。
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