厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，则其 Jordan 标准形为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征值
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，特征值即对角线元素：$\lambda_1=1$（单重），$\lambda_2=2$（二重）。
公式：对于上三角矩阵，特征值即对角线元素。
提示：注意特征值的代数重数：1是单根，2是二重根。
步骤 2/6
目标：求特征值1的几何重数
解 $(A-I)x=0$，其中 $A-I=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&0\\0&2&1\end{pmatrix}$。矩阵的秩为2，所以几何重数 $=3-2=1$。
公式：几何重数 = $n - \text{rank}(A-\lambda I)$
提示：计算秩时注意行简化：第二行与第三行线性无关。
步骤 3/6
目标：确定特征值1的Jordan块
几何重数为1，代数重数为1，所以对应一个1阶Jordan块 $J_1(1)$。
公式：若代数重数等于几何重数，则Jordan块为对角块。
提示：单特征值必然对应1阶Jordan块。
步骤 4/6
目标：求特征值2的几何重数
解 $(A-2I)x=0$，其中 $A-2I=\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&0&0\\0&2&0\end{pmatrix}$。矩阵的秩为2，所以几何重数 $=3-2=1$。
公式：几何重数 = $n - \text{rank}(A-\lambda I)$
提示：注意第二行全零，第三行与第一行线性无关，秩为2。
步骤 5/6
目标：确定特征值2的Jordan块
代数重数为2，几何重数为1，所以对应一个2阶Jordan块 $J_2(2)$。
公式：若代数重数大于几何重数，则Jordan块阶数由代数重数决定，且块数为几何重数。
提示：几何重数为1意味着只有一个Jordan块，阶数为2。
步骤 6/6
目标：组合Jordan标准形
将两个Jordan块按特征值顺序排列，得到Jordan标准形：$J=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&1\\0&0&2\end{pmatrix}$。
公式：Jordan标准形由Jordan块组成，块顺序可调。
提示：注意2阶Jordan块中次对角线为1。
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