厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．（15 分）设 $V$ 是复数域 $\displaystyle \mathbb{C}$ 上的 $n$ 维线性空间，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 上的不可逆且非幂零的线性变换．证明：存在 $\displaystyle \sigma$ —子空间 $\displaystyle V_{1}, V_{2}$ ，满足 $\displaystyle V=V_{1} \oplus V_{2}$ ，且 $\displaystyle \sigma \mid V_{1}$ 为可逆变换，$\displaystyle \sigma \mid V_{2}$ 为幂零变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特征多项式与极小多项式
设 $\sigma$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=\det(\lambda I-\sigma)$。由于 $\sigma$ 不可逆，故 $0$ 是特征值，即 $f(0)=0$。又 $\sigma$ 非幂零，故 $\sigma$ 的特征值不全为 $0$。设 $f(\lambda)=\lambda^m g(\lambda)$，其中 $g(0)\neq 0$，$m\geq 1$。由 Hamilton-Cayley 定理，$f(\sigma)=0$，即 $\sigma^m g(\sigma)=0$。极小多项式 $m(\lambda)$ 整除 $f(\lambda)$，且 $m(\lambda)=\lambda^r h(\lambda)$，其中 $h(0)\neq 0$，$1\leq r\leq m$。
公式：$f(\lambda)=\lambda^m g(\lambda)$, $g(0)\neq 0$; $m(\lambda)=\lambda^r h(\lambda)$, $h(0)\neq 0$
提示：注意极小多项式中的指数 $r$ 可能小于特征多项式中的 $m$，且 $h(0)\neq 0$ 保证了 $\lambda^r$ 与 $h(\lambda)$ 互素。
步骤 2/6
目标：利用互素多项式构造恒等式
由于 $\lambda^r$ 与 $h(\lambda)$ 互素，存在多项式 $u(\lambda), v(\lambda)$ 使得 $u(\lambda)\lambda^r+v(\lambda)h(\lambda)=1$。代入 $\sigma$ 得 $u(\sigma)\sigma^r+v(\sigma)h(\sigma)=I$。
公式：$u(\lambda)\lambda^r+v(\lambda)h(\lambda)=1$
提示：互素是准素分解的关键，确保存在这样的多项式。
步骤 3/6
目标：定义子空间并证明直和分解
令 $V_1=\ker h(\sigma)$，$V_2=\ker \sigma^r$。则 $V_1$ 和 $V_2$ 均为 $\sigma$-子空间。对任意 $\alpha\in V$，由恒等式得 $\alpha = u(\sigma)\sigma^r(\alpha) + v(\sigma)h(\sigma)(\alpha)$。令 $\alpha_1 = v(\sigma)h(\sigma)(\alpha)$，$\alpha_2 = u(\sigma)\sigma^r(\alpha)$。则 $h(\sigma)(\alpha_1) = h(\sigma)v(\sigma)h(\sigma)(\alpha) = v(\sigma)h(\sigma)^2(\alpha)$。但由 $\sigma^r h(\sigma)=0$ 不能直接得到 $h(\sigma)^2=0$。正确做法：由准素分解定理，$V = \ker \sigma^r \oplus \ker h(\sigma)$，因为 $\lambda^r$ 与 $h(\lambda)$ 互素。
公式：$V = \ker \sigma^r \oplus \ker h(\sigma)$
提示：准素分解定理直接给出直和分解，无需通过恒等式构造。注意 $\ker h(\sigma)$ 与 $\ker \sigma^r$ 的交集为 $\{0\}$。
步骤 4/6
目标：证明 $\sigma$ 在 $V_1$ 上可逆
在 $V_1=\ker h(\sigma)$ 上，$h(\sigma)=0$。由恒等式 $u(\sigma)\sigma^r+v(\sigma)h(\sigma)=I$，在 $V_1$ 上得 $u(\sigma)\sigma^r = I$，即 $\sigma^r$ 在 $V_1$ 上可逆，从而 $\sigma$ 在 $V_1$ 上可逆（因为 $\sigma$ 可逆当且仅当 $\sigma^r$ 可逆）。
公式：$u(\sigma)\sigma^r = I$ on $V_1$
提示：注意 $\sigma$ 在 $V_1$ 上的可逆性源于 $\sigma^r$ 可逆，且 $\sigma$ 是线性变换，其可逆性等价于单射或满射。
步骤 5/6
目标：证明 $\sigma$ 在 $V_2$ 上幂零
在 $V_2=\ker \sigma^r$ 上，$\sigma^r=0$，因此 $\sigma$ 在 $V_2$ 上是幂零的，幂零指数不超过 $r$。
公式：$\sigma^r|_{V_2}=0$
提示：幂零性直接由定义得到，注意 $r$ 是极小多项式中 $\lambda$ 的指数，也是 $\sigma$ 在 $V_2$ 上的幂零指数。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，存在 $\sigma$-子空间 $V_1=\ker h(\sigma)$ 和 $V_2=\ker \sigma^r$，满足 $V=V_1\oplus V_2$，且 $\sigma|_{V_1}$ 可逆，$\sigma|_{V_2}$ 幂零。
提示：注意 $V_1$ 和 $V_2$ 都是 $\sigma$-不变子空间，这是准素分解的必然结果。
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