厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．（15分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 为 3 阶实矩阵，$\displaystyle a_{i j}=A_{i j}(i, j=1,2,3)$ ，若 $\displaystyle a_{33}=1$ ，求线性方程组
$$
A\left(\begin{array}{l}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
1
\end{array}\right)
$$
的解．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解条件并建立关系
已知 $a_{ij}=A_{ij}$，其中 $A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。伴随矩阵 $A^*$ 满足 $(A^*)_{ij}=A_{ji}$，因此 $A^T$ 的元素为 $(A^T)_{ij}=a_{ji}=A_{ji}=(A^*)_{ij}$，即 $A^T=A^*$。
公式：$A^T = A^*$
提示：注意代数余子式与伴随矩阵的关系：$(A^*)_{ij}=A_{ji}$。
步骤 2/7
目标：利用伴随矩阵性质得到方程
对于任意方阵，有 $AA^* = A^*A = \det(A)I$。代入 $A^*=A^T$ 得 $AA^T = \det(A)I$。
公式：$AA^T = \det(A)I$
提示：不要混淆 $A^*$ 与 $A^T$ 的定义。
步骤 3/7
目标：计算行列式确定 det(A) 的值
对 $AA^T = \det(A)I$ 两边取行列式：$\det(AA^T) = \det(\det(A)I) = (\det(A))^3$。又 $\det(AA^T) = \det(A)\det(A^T) = (\det(A))^2$，所以 $(\det(A))^2 = (\det(A))^3$，即 $(\det(A))^2(\det(A)-1)=0$，故 $\det(A)=0$ 或 $\det(A)=1$。
公式：$\det(AA^T) = \det(A)\det(A^T) = (\det(A))^2$
提示：注意行列式的乘法性质。
步骤 4/7
目标：排除 det(A)=0 的情况
若 $\det(A)=0$，则 $AA^T=0$。考虑 $(3,3)$ 元素：$(AA^T)_{33} = \sum_{k=1}^3 a_{3k}a_{3k} = \sum_{k=1}^3 a_{3k}^2 = 0$，所以 $a_{31}=a_{32}=a_{33}=0$，与已知 $a_{33}=1$ 矛盾。故 $\det(A)=1$。
公式：$(AA^T)_{33} = \sum_{k=1}^3 a_{3k}^2$
提示：矩阵乘积的 $(i,j)$ 元素是行与列对应元素乘积之和。
步骤 5/7
目标：得出 A 是正交矩阵
由 $\det(A)=1$ 及 $AA^T = \det(A)I = I$，得 $AA^T = I$，且 $A^T = A^{-1}$。又 $A^T = A^*$，故 $A^* = A^{-1}$。
公式：$AA^T = I$
提示：正交矩阵满足 $A^T = A^{-1}$。
步骤 6/7
目标：求解线性方程组
方程组为 $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$，其中 $\mathbf{b} = (0,0,1)^T$。由于 $A$ 可逆，解为 $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b} = A^T\mathbf{b}$。计算 $A^T\mathbf{b}$ 的第 $i$ 分量：$x_i = \sum_{j=1}^3 (A^T)_{ij}b_j = \sum_{j=1}^3 a_{ji}b_j$。因为 $b_1=b_2=0, b_3=1$，所以 $x_i = a_{3i}$，即 $\mathbf{x} = (a_{31}, a_{32}, a_{33})^T = (a_{31}, a_{32}, 1)^T$。
公式：$\mathbf{x} = A^T\mathbf{b}$
提示：注意 $A^T$ 的列是 $A$ 的行。
步骤 7/7
目标：利用正交性确定未知元素
由 $AA^T = I$ 知 $A$ 的行向量是单位正交的。第三行 $(a_{31}, a_{32}, 1)$ 的模长为 $\sqrt{a_{31}^2 + a_{32}^2 + 1} = 1$，所以 $a_{31}^2 + a_{32}^2 = 0$，故 $a_{31}=a_{32}=0$。因此解为 $\mathbf{x} = (0,0,1)^T$。
公式：$a_{31}^2 + a_{32}^2 + 1 = 1$
提示：正交矩阵的行向量是单位向量。
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