厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．（ 15 分）设
$$
P=\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right), Q=\left(\begin{array}{lll}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0
\end{array}\right)
$$
满足 $\displaystyle P X P+Q X Q=P X Q+Q X P+P^{2}-P Q$ ，求 $X$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：整理方程并因式分解
原方程：
$$P X P + Q X Q = P X Q + Q X P + P^2 - P Q$$
移项得：
$$P X P + Q X Q - P X Q - Q X P = P^2 - P Q$$
左边可因式分解为：
$$(P - Q) X (P - Q) = P^2 - P Q$$
公式：$(P-Q)X(P-Q) = P^2 - PQ$
提示：注意因式分解时矩阵乘法的顺序不可交换，但这里恰好可以提取公因子。
步骤 2/6
目标：计算矩阵差 P - Q
$$P - Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：矩阵减法对应元素相减，注意符号。
步骤 3/6
目标：计算 P^2 和 P Q
$$P^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$$
$$P Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix}$$
提示：矩阵乘法按行乘列，注意计算顺序。
步骤 4/6
目标：计算 P^2 - P Q
$$P^2 - P Q = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
提示：矩阵减法对应元素相减。
步骤 5/6
目标：求 A = P - Q 的逆矩阵
令 $A = P - Q = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，由于是上三角且对角线为1，可逆。
$$A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
提示：上三角矩阵的逆仍为上三角，可用待定系数法或公式求逆。
步骤 6/6
目标：解出 X
方程 $(P-Q)X(P-Q) = P^2 - PQ$ 两边左乘 $A^{-1}$，右乘 $A^{-1}$ 得：
$$X = A^{-1}(P^2 - PQ)A^{-1}$$
先计算 $B = A^{-1}(P^2 - PQ)$：
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -5 \\ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$
再计算 $X = B A^{-1}$：
$$X = \begin{pmatrix} 4 & -1 & -5 \\ 2 & 0 & -3 \\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 3 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$
公式：$X = A^{-1}(P^2 - PQ)A^{-1}$
提示：注意矩阵乘法的顺序，左乘和右乘不能交换。
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