厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
六．（15 分）设 $\displaystyle f(x)=x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x+a_{n}$ 是数域 $F$ 上的不可约多项式，$\displaystyle \varphi$ 是数域 $F$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，若 $V$ 中非零向量 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 满足
$$
\varphi\left(\alpha_{i}\right)=\alpha_{i+1}(1 \leq i \leq n-1), \varphi\left(\alpha_{n}\right)=-a_{n} \alpha_{1}-a_{n-1} \alpha_{2}-\cdots-a_{1} \alpha_{n}
$$
证明：$\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定线性组合为零
假设存在一组数 $k_1, k_2, \ldots, k_n \in F$ 使得 $k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n = 0$。目标是证明所有 $k_i = 0$。
公式：$k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2 + \cdots + k_n \alpha_n = 0$
提示：注意这是线性无关的常规证明起点。
步骤 2/7
目标：引入多项式表示
定义多项式 $g(x) = k_1 x^{n-1} + k_2 x^{n-2} + \cdots + k_{n-1} x + k_n$。则线性组合可写为 $g(\varphi)(\alpha_1) = 0$，因为 $\varphi^{i-1}(\alpha_1) = \alpha_i$ 对 $i=1,\ldots,n$。
公式：$g(\varphi)(\alpha_1) = 0$
提示：注意 $\varphi^{0}(\alpha_1)=\alpha_1$，$\varphi^{1}(\alpha_1)=\alpha_2$，依此类推。
步骤 3/7
目标：利用条件得到 $f(\varphi)(\alpha_1)=0$
由条件 $\varphi(\alpha_i)=\alpha_{i+1}$（$i=1,\ldots,n-1$）和 $\varphi(\alpha_n) = -a_n \alpha_1 - a_{n-1} \alpha_2 - \cdots - a_1 \alpha_n$，计算 $f(\varphi)(\alpha_1)$ 得 $\varphi^n(\alpha_1) + a_1 \varphi^{n-1}(\alpha_1) + \cdots + a_{n-1} \varphi(\alpha_1) + a_n \alpha_1 = 0$，即 $f(\varphi)(\alpha_1)=0$。
公式：$f(\varphi)(\alpha_1)=0$
提示：注意 $f(x)=x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n-1}x + a_n$。
步骤 4/7
目标：分析极小多项式
由于 $f(x)$ 不可约且 $f(\varphi)(\alpha_1)=0$，$\alpha_1$ 的极小多项式 $m(x)$ 整除 $f(x)$。因为 $f$ 不可约且 $\alpha_1 \neq 0$，所以 $m(x)=f(x)$（相差常数倍）。
公式：$m(x) \mid f(x)$ 且 $m(x)=f(x)$
提示：不可约多项式整除关系导致相等。
步骤 5/7
目标：由 $g(\varphi)(\alpha_1)=0$ 推出 $f(x) \mid g(x)$
因为 $m(x)=f(x)$ 是 $\alpha_1$ 的极小多项式，且 $g(\varphi)(\alpha_1)=0$，所以 $f(x) \mid g(x)$。
公式：$f(x) \mid g(x)$
提示：极小多项式整除任何零化多项式。
步骤 6/7
目标：比较次数得出 $g(x)\equiv 0$
由于 $\deg f = n$，而 $\deg g \leq n-1$，除非 $g(x) \equiv 0$，否则 $f(x)$ 不能整除 $g(x)$。因此 $g(x) \equiv 0$，即所有系数 $k_i = 0$。
公式：$\deg g \leq n-1 < n = \deg f$
提示：注意零多项式次数定义为 $-\infty$，但此处直接得系数全零。
步骤 7/7
目标：结论
由 $k_1 = k_2 = \cdots = k_n = 0$ 知 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 线性无关。
提示：线性无关定义得证。
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