厦门大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）设 $A$ 为实矩阵满足 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：
（1）$A$ 可对角化．
（2）存在实对称矩阵 $B$ 和正定矩阵 $C$ ，使得 $\displaystyle A=B C$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定特征值范围
由 $A^2 = A$ 得 $A(A - I) = 0$，故 $A$ 的特征值满足 $\lambda(\lambda - 1) = 0$，即特征值只能是 $0$ 或 $1$。
公式：$\lambda(\lambda - 1) = 0$
提示：注意特征值满足的方程来源于矩阵多项式，不要遗漏 $0$ 特征值。
步骤 2/7
目标：极小多项式无重根
由 $A^2 - A = 0$ 知 $A$ 的极小多项式整除 $x(x-1)$，而 $x(x-1)$ 无重根，故极小多项式无重根。
公式：$x(x-1)$ 无重根
提示：极小多项式无重根是可对角化的充要条件。
步骤 3/7
目标：得出可对角化结论
由于极小多项式无重根，$A$ 可对角化。
提示：注意实矩阵可对角化指在复数域上可对角化，但这里特征值均为实数，故可在实数域上对角化。
步骤 4/7
目标：对角化形式
由 (1) 知存在可逆实矩阵 $P$ 使得 $P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，其中 $r = \operatorname{rank}(A)$。
公式：$P^{-1}AP = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$
提示：注意 $I_r$ 是 $r$ 阶单位阵，$0$ 表示适当大小的零矩阵。
步骤 5/7
目标：构造对称矩阵 B
令 $B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^\top$，则 $B$ 是实对称矩阵。
公式：$B = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^\top$
提示：注意 $P$ 是实矩阵，$P^\top$ 是转置，保证 $B$ 对称。
步骤 6/7
目标：构造正定矩阵 C
令 $C = (P^{-1})^\top \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1}$，则 $C$ 合同于单位阵，故正定。
公式：$C = (P^{-1})^\top \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1}$
提示：正定性要求 $C$ 对称且特征值全正，这里 $C$ 显然对称且与单位阵合同。
步骤 7/7
目标：验证乘积等于 A
计算 $BC = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^\top (P^{-1})^\top \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1} = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & I_{n-r} \end{pmatrix} P^{-1} = P \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} P^{-1} = A$。
公式：$BC = A$
提示：注意 $P^\top (P^{-1})^\top = I$，中间矩阵乘法需仔细。
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