合肥工业大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1、计算下列行列式的值 $\displaystyle D_{n}=\left|\begin{array}{ccccc}1-a_{1} & a_{2} & & & \\ -1 & 1-a_{2} & \ddots & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \ddots & \ddots & a_{n} \\ & & & -1 & 1-a_{n}\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：观察行列式结构，建立递推关系
行列式 $D_n$ 是 $n$ 阶三对角行列式，第一行只有两个非零元素：$1-a_1$ 和 $a_2$。按第一行展开，得到递推关系：
$$D_n = (1-a_1) D_{n-1} - a_2 \cdot (-1) \cdot D_{n-2} = (1-a_1) D_{n-1} + a_2 D_{n-2},$$ 其中 $D_{n-1}$ 是去掉第一行第一列后的 $n-1$ 阶行列式，$D_{n-2}$ 是去掉第一行第二列后的 $n-2$ 阶行列式（注意符号）。
公式：按第一行展开公式：$D_n = \sum_{j=1}^n (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}$
提示：注意展开时符号：$a_{12}=a_2$ 位于第1行第2列，符号为 $(-1)^{1+2}=-1$，因此项为 $-a_2 \cdot M_{12}$，而 $M_{12}$ 的符号需进一步处理。
步骤 2/6
目标：计算初始条件 $D_1$ 和 $D_2$
当 $n=1$ 时，$D_1 = 1-a_1$。
当 $n=2$ 时，
$$D_2 = \begin{vmatrix} 1-a_1 & a_2 \\ -1 & 1-a_2 \end{vmatrix} = (1-a_1)(1-a_2) + a_2 = 1 - a_1 - a_2 + a_1 a_2 + a_2 = 1 - a_1 + a_1 a_2.$$
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$
提示：计算 $D_2$ 时注意符号：$(-1) \cdot a_2$ 项为负，但公式中 $ad-bc$ 已包含符号，直接代入即可。
步骤 3/6
目标：观察递推关系，猜想通项公式
由递推关系 $D_n = (1-a_1) D_{n-1} + a_2 D_{n-2}$ 和初始值，猜想通项公式为：
$$D_n = 1 - a_1 + a_1 a_2 - a_1 a_2 a_3 + \cdots + (-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n.$$
即 $D_n = 1 + \sum_{k=1}^n (-1)^k \prod_{i=1}^k a_i$。
提示：注意符号规律：奇数项为负，偶数项为正，且每一项是前 $k$ 个 $a_i$ 的乘积。
步骤 4/6
目标：用数学归纳法证明通项公式（基础步骤）
当 $n=1$ 时，$D_1 = 1-a_1$，公式给出 $1 + (-1)^1 a_1 = 1-a_1$，成立。
当 $n=2$ 时，公式给出 $1 - a_1 + a_1 a_2$，与 $D_2$ 一致，成立。
提示：归纳基础需要验证 $n=1$ 和 $n=2$，因为递推涉及前两项。
步骤 5/6
目标：用数学归纳法证明通项公式（归纳步骤）
假设对于 $n=k-1$ 和 $n=k-2$ 公式成立，即
$$D_{k-1} = 1 + \sum_{j=1}^{k-1} (-1)^j \prod_{i=1}^j a_i, \quad D_{k-2} = 1 + \sum_{j=1}^{k-2} (-1)^j \prod_{i=1}^j a_i.$$
注意 $D_{k-1}$ 中的 $a_1$ 实际上是 $a_2$，$a_2$ 是 $a_3$，等等，因为递推中 $D_{n-1}$ 是从原行列式去掉第一行第一列得到的，其元素下标偏移。因此，在递推关系 $D_k = (1-a_1) D_{k-1} + a_2 D_{k-2}$ 中，$D_{k-1}$ 对应的是以 $a_2, a_3, \dots, a_k$ 为参数的行列式，即
$$D_{k-1} = 1 + \sum_{j=1}^{k-1} (-1)^j \prod_{i=2}^{j+1} a_i, \quad D_{k-2} = 1 + \sum_{j=1}^{k-2} (-1)^j \prod_{i=3}^{j+2} a_i.$$
代入递推式并展开：
$$\begin{aligned} D_k &= (1-a_1) \left(1 - a_2 + a_2 a_3 - \cdots + (-1)^{k-1} a_2 \cdots a_k \right) \\ &\quad + a_2 \left(1 - a_3 + a_3 a_4 - \cdots + (-1)^{k-2} a_3 \cdots a_k \right) \\ &= (1-a_1) - (1-a_1)a_2 + (1-a_1)a_2 a_3 - \cdots + (-1)^{k-1} (1-a_1) a_2 \cdots a_k \\ &\quad + a_2 - a_2 a_3 + a_2 a_3 a_4 - \cdots + (-1)^{k-2} a_2 a_3 \cdots a_k. \end{aligned}$$
合并同类项：常数项 $1$；$a_1$ 项：$-a_1$；$a_2$ 项：$-(1-a_1)a_2 + a_2 = -a_2 + a_1 a_2 + a_2 = a_1 a_2$；$a_2 a_3$ 项：$(1-a_1)a_2 a_3 - a_2 a_3 = a_2 a_3 - a_1 a_2 a_3 - a_2 a_3 = -a_1 a_2 a_3$；依此类推，最后一项 $a_2 \cdots a_k$：$(-1)^{k-1}(1-a_1)a_2 \cdots a_k + (-1)^{k-2} a_2 \cdots a_k = (-1)^{k-1} a_2 \cdots a_k - (-1)^{k-1} a_1 a_2 \cdots a_k + (-1)^{k-2} a_2 \cdots a_k = (-1)^{k-1} a_2 \cdots a_k + (-1)^{k-2} a_2 \cdots a_k - (-1)^{k-1} a_1 a_2 \cdots a_k = 0 - (-1)^{k-1} a_1 a_2 \cdots a_k = (-1)^k a_1 a_2 \cdots a_k$。
因此，$D_k = 1 - a_1 + a_1 a_2 - a_1 a_2 a_3 + \cdots + (-1)^k a_1 a_2 \cdots a_k$，即公式对 $n=k$ 成立。
公式：递推关系 $D_n = (1-a_1) D_{n-1} + a_2 D_{n-2}$
提示：注意下标偏移：$D_{k-1}$ 的参数是 $a_2, a_3, \dots, a_k$，$D_{k-2}$ 的参数是 $a_3, a_4, \dots, a_k$。合并项时小心符号。
步骤 6/6
目标：写出最终结果
由数学归纳法，通项公式成立。因此，
$$D_n = 1 + \sum_{k=1}^n (-1)^k \prod_{i=1}^k a_i.$$
提示：最终结果可以写成 $1 - a_1 + a_1 a_2 - a_1 a_2 a_3 + \cdots + (-1)^n a_1 a_2 \cdots a_n$。
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