合肥工业大学 2025年高等代数第10题

对于任意 $f,g \in \mathbb{R}_{n+1}[x]$，有 $\langle f, g \rangle = \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) g\left(\frac{k}{n}\right) = \sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right) f\left(\frac{k}{n}\right) = \langle g, f \rangle$，故对称性成立。

对于任意 $f,g,h \in \mathbb{R}_{n+1}[x]$ 和 $\alpha \in \mathbb{R}$，有 $\langle \alpha f + g, h \rangle = \sum_{k=1}^n (\alpha f + g)\left(\frac{k}{n}\right) h\left(\frac{k}{n}\right) = \alpha \sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right) h\left(\frac{k}{n}\right) + \sum_{k=1}^n g\left(\frac{k}{n}\right) h\left(\frac{k}{n}\right) = \alpha \langle f, h \rangle + \langle g, h \rangle$，故线性性成立。

正定性要求 $\langle f, f \rangle \geq 0$ 且 $\langle f, f \rangle = 0 \iff f \equiv 0$。$\langle f, f \rangle = \sum_{k=1}^n [f(k/n)]^2 \geq 0$ 显然。但若 $\langle f, f \rangle = 0$，则 $f(k/n)=0$ 对 $k=1,\dots,n$。由于 $f$ 是次数 $\leq n+1$ 的多项式，有 $n+2$ 个系数，但只有 $n$ 个根条件，不能推出 $f \equiv 0$。例如 $f(x)=\prod_{k=1}^n (x - k/n)$ 次数为 $n \leq n+1$，且 $f(k/n)=0$ 但 $f \not\equiv 0$。因此正定性不成立，该定义不是内积。通常需将多项式空间改为 $\mathbb{R}_n[x]$ 才构成内积。

通常此类问题默认多项式次数不超过 $n$，即 $f \in \mathbb{R}_n[x]$。此时若 $\langle f, f \rangle = 0$，则 $f$ 有 $n$ 个不同根，故 $f \equiv 0$，正定性成立。以下按此假设求解第二问。

设一次多项式 $p(x) = ax + b$，$a,b \in \mathbb{R}$。与 $x$ 正交即 $\langle p, x \rangle = 0$。计算： $$\langle p, x \rangle = \sum_{k=1}^n p\left(\frac{k}{n}\right) \cdot \frac{k}{n} = \sum_{k=1}^n \left( a \frac{k}{n} + b \right) \frac{k}{n} = \frac{a}{n^2} \sum_{k=1}^n k^2 + \frac{b}{n} \sum_{k=1}^n k.$$

代入求和公式： $$\langle p, x \rangle = \frac{a}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{b}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{a (n+1)(2n+1)}{6n} + \frac{b (n+1)}{2}.$$

令 $\langle p, x \rangle = 0$，得： $$\frac{a (n+1)(2n+1)}{6n} + \frac{b (n+1)}{2} = 0.$$ 提取公因子 $\frac{n+1}{2}$： $$\frac{n+1}{2} \left( \frac{a(2n+1)}{3n} + b \right) = 0 \implies b = -\frac{a(2n+1)}{3n}.$$

因此，所有与 $x$ 正交的一次多项式为 $p(x) = a\left( x - \frac{2n+1}{3n} \right)$，其中 $a \in \mathbb{R}$ 为任意常数。