合肥工业大学 2025年高等代数第9题

已知 $A$ 和 $B$ 是3阶复矩阵，且特征多项式相同，最小多项式相同。设特征多项式为 $f(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)^{n_1}(\lambda - \lambda_2)^{n_2}\cdots(\lambda - \lambda_k)^{n_k}$，其中 $\sum n_i = 3$。最小多项式为 $m(\lambda) = \prod_{i=1}^k (\lambda - \lambda_i)^{d_i}$，其中 $d_i$ 是特征值 $\lambda_i$ 对应的最大Jordan块阶数。

对于3阶矩阵，Jordan标准形由特征值（包括重数）和每个特征值对应的Jordan块结构决定。由于特征多项式相同，特征值及其代数重数相同。最小多项式相同，则每个特征值对应的最大Jordan块阶数相同。对于3阶矩阵，这些信息足以唯一确定Jordan标准形。

根据特征值的重数分类： - 若特征值互异（三个单根），则Jordan标准形为对角矩阵，由特征值唯一确定。 - 若有一个二重特征值和一个单根，则二重特征值对应的Jordan块有两种可能：一个2阶块或两个1阶块。最小多项式次数决定了最大Jordan块阶数：若最小多项式次数为2，则有一个2阶块；若为1，则两个1阶块（即对角化）。 - 若有一个三重特征值，则可能的Jordan块结构有：一个3阶块、一个2阶块加一个1阶块、三个1阶块。最小多项式次数分别为3、2、1，唯一确定。

由于 $A$ 和 $B$ 的特征多项式相同，最小多项式相同，根据上述分类，它们的Jordan标准形在每种情况下都相同。因此 $A$ 和 $B$ 相似于同一个Jordan标准形，从而 $A$ 与 $B$ 相似。

考虑4阶矩阵： $A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$， $B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$。 两者特征多项式均为 $\lambda^4$，最小多项式均为 $\lambda^2$。但 $A$ 的Jordan标准形为两个2阶Jordan块，$B$ 的Jordan标准形为一个3阶Jordan块和一个1阶Jordan块，故不相似。

计算 $A$ 的Jordan标准形：$A$ 的秩为2，零度（几何重数）为2，故有两个Jordan块，每个块阶数由最小多项式决定：最小多项式为 $\lambda^2$，故每个块阶数不超过2，且总阶数为4，所以两个2阶块。$B$ 的秩为2，但零度为1（因为 $B$ 的零空间维数为1），故有一个3阶块和一个1阶块。因此不相似。