吉林大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
一．设 $\displaystyle f(x)$ 是复数域上的一个多项式， $\displaystyle \operatorname{deg} f(x)>0$ ，且 $\displaystyle f\left(x^{2}\right) \mid f\left(x^{4}\right)$ ，证明：$\displaystyle f(x)$ 的任意非零根都落在复平面的单位圆上．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由整除关系得到等式
由 $f(x^2) \mid f(x^4)$ 可知，存在多项式 $g(x)$ 使得 $f(x^4) = f(x^2) g(x)$。
公式：f(x^4) = f(x^2) g(x)
提示：注意整除的定义：存在多项式使得等式成立。
步骤 2/6
目标：代入根的关系
设 $\alpha$ 是 $f(x)$ 的任意非零根，即 $f(\alpha)=0$，$\alpha \neq 0$。取 $x = \sqrt{\alpha}$（任意一个平方根），则 $x^2 = \alpha$，$x^4 = \alpha^2$。代入等式得 $f(\alpha^2) = f(\alpha) g(\sqrt{\alpha}) = 0$，所以 $f(\alpha^2)=0$，即 $\alpha^2$ 也是 $f(x)$ 的根。
公式：f(\alpha^2) = 0
提示：注意平方根的选择不影响结果，因为 $g(\sqrt{\alpha})$ 是确定的复数。
步骤 3/6
目标：迭代得到无穷多个根
重复上述过程：由 $\alpha^2$ 是根，可得 $\alpha^4$ 是根，依此类推，对任意正整数 $k$，$\alpha^{2^k}$ 都是 $f(x)$ 的根。
公式：\alpha^{2^k} \text{ 是根}
提示：迭代时注意每一步都使用相同的整除关系。
步骤 4/6
目标：利用多项式只有有限个根
由于 $f(x)$ 是多项式，只有有限个根，而 $\alpha^{2^k}$ 都是根，因此存在不同的正整数 $k_1 < k_2$ 使得 $\alpha^{2^{k_1}} = \alpha^{2^{k_2}}$。
公式：\alpha^{2^{k_1}} = \alpha^{2^{k_2}}
提示：注意根的重数不影响结论，只要根相同即可。
步骤 5/6
目标：化简得到单位根条件
因为 $\alpha \neq 0$，两边除以 $\alpha^{2^{k_1}}$ 得 $\alpha^{2^{k_2} - 2^{k_1}} = 1$，即 $\alpha^{2^{k_1}(2^{k_2-k_1}-1)} = 1$。所以 $\alpha$ 是单位根，从而 $|\alpha| = 1$。
公式：\alpha^{2^{k_1}(2^{k_2-k_1}-1)} = 1
提示：注意指数运算：$2^{k_2} - 2^{k_1} = 2^{k_1}(2^{k_2-k_1} - 1)$。
步骤 6/6
目标：结论
因此，$f(x)$ 的任意非零根都落在单位圆上，即模为1。
提示：单位圆上的点满足 $|z|=1$。
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