吉林大学 2026年高等代数第0题

将两球面方程相减，消去二次项，得到平面方程。 $S_1: (x-6)^2+(y-8)^2+z^2=25$，$S_2: (x-10)^2+(y-5)^2+z^2=50$。 相减得：$(x-6)^2+(y-8)^2+z^2 - [(x-10)^2+(y-5)^2+z^2] = 25-50$。 化简：$(x-6)^2-(x-10)^2 + (y-8)^2-(y-5)^2 = -25$。 计算平方差：$(4)(2x-16) + (-3)(2y-13) = -25$，即 $8x-64-6y+39=-25$，整理得 $8x-6y=0$，所以 $y = \frac{4}{3}x$。

将 $y = \frac{4}{3}x$ 代入 $S_1$ 方程：$(x-6)^2 + \left(\frac{4}{3}x-8\right)^2 + z^2 = 25$。 展开：$(x^2-12x+36) + \left(\frac{16}{9}x^2 - \frac{64}{3}x + 64\right) + z^2 = 25$。 合并同类项：$\frac{25}{9}x^2 - \frac{100}{3}x + 100 + z^2 = 25$。 移项：$\frac{25}{9}x^2 - \frac{100}{3}x + z^2 = -75$。 两边乘以9：$25x^2 - 300x + 9z^2 = -675$。 移项：$25x^2 - 300x + 9z^2 + 675 = 0$。

对 $25x^2 - 300x$ 配方：$25(x^2-12x) = 25[(x-6)^2-36] = 25(x-6)^2 - 900$。 代入方程：$25(x-6)^2 - 900 + 9z^2 + 675 = 0$，即 $25(x-6)^2 + 9z^2 = 225$。 两边除以225：$\frac{(x-6)^2}{9} + \frac{z^2}{25} = 1$。 所以交线在平面 $y = \frac{4}{3}x$ 上，且满足椭圆方程。

设旋转曲面上任一点为 $(X,Y,Z)$，它由原曲线上的点 $(x,y,z)$ 绕 $z$ 轴旋转得到，满足 $X^2+Y^2 = x^2+y^2$ 且 $Z=z$。 原曲线上 $y = \frac{4}{3}x$，所以 $x^2+y^2 = x^2 + \frac{16}{9}x^2 = \frac{25}{9}x^2$，即 $x^2 = \frac{9}{25}(x^2+y^2)$。 因此 $x = \pm \frac{3}{5}\sqrt{x^2+y^2}$。由于旋转对称，$x$ 的符号不影响 $x^2$，但代入椭圆方程时需考虑符号，但平方后符号消失。

将 $x = \pm \frac{3}{5}\sqrt{x^2+y^2}$ 代入椭圆方程 $\frac{(x-6)^2}{9} + \frac{z^2}{25} = 1$，由于平方，正负号不影响，得： $\frac{\left(\frac{3}{5}\sqrt{x^2+y^2} - 6\right)^2}{9} + \frac{z^2}{25} = 1$。 展开：$\frac{1}{9}\left(\frac{9}{25}(x^2+y^2) - \frac{36}{5}\sqrt{x^2+y^2} + 36\right) + \frac{z^2}{25} = 1$。 化简：$\frac{1}{25}(x^2+y^2) - \frac{4}{5}\sqrt{x^2+y^2} + 4 + \frac{z^2}{25} = 1$。 移项：$\frac{x^2+y^2+z^2}{25} - \frac{4}{5}\sqrt{x^2+y^2} + 3 = 0$。 乘以25：$x^2+y^2+z^2 - 20\sqrt{x^2+y^2} + 75 = 0$。 整理：$x^2+y^2+z^2 + 75 = 20\sqrt{x^2+y^2}$。

对方程 $x^2+y^2+z^2 + 75 = 20\sqrt{x^2+y^2}$ 两边平方（注意 $\sqrt{x^2+y^2} \ge 0$，右边非负，左边也需非负，但平方后可能产生增根，需检验）： $(x^2+y^2+z^2+75)^2 = 400(x^2+y^2)$。 这就是所求旋转曲面的方程。