吉林大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．设 $\displaystyle u_{1}, u_{2}, \cdots, u_{n}$ 和 $\displaystyle v_{1}, v_{2}, \cdots, v_{n}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\displaystyle \sigma$ 是 $V$ 的一个等距变换，并且 $\displaystyle \left[\sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)\right]=\left[v_{1}, v_{2}\right]$ ，即 $\displaystyle \sigma\left(u_{1}\right), \sigma\left(u_{2}\right)$ 生成的子空间与 $\displaystyle v_{1}, v_{2}$ 生成的子空间相等．证明：
$$
\left[\sigma\left(u_{3}\right), \sigma\left(u_{4}\right), \cdots, \sigma\left(u_{n}\right)\right]=\left[v_{3}, v_{4}, \cdots, v_{n}\right]
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：明确已知条件与待证结论
已知 $\{u_1, u_2, \dots, u_n\}$ 和 $\{v_1, v_2, \dots, v_n\}$ 是内积空间 $V$ 的两组规范正交基，$\sigma$ 是 $V$ 上的等距变换，且 $[\sigma(u_1), \sigma(u_2)] = [v_1, v_2]$。需要证明 $[\sigma(u_3), \sigma(u_4), \dots, \sigma(u_n)] = [v_3, v_4, \dots, v_n]$。
提示：注意等距变换保持内积，从而保持正交性和长度。
步骤 2/7
目标：定义子空间并利用正交补
设 $W = [v_1, v_2]$，则 $W^\perp = [v_3, v_4, \dots, v_n]$，因为 $\{v_i\}$ 是规范正交基，所以 $v_3, \dots, v_n$ 张成 $W$ 的正交补。
公式：$W^\perp = \{x \in V \mid \langle x, v_1 \rangle = \langle x, v_2 \rangle = 0\}$
提示：规范正交基的性质：前两个向量张成的子空间的正交补由后 $n-2$ 个向量张成。
步骤 3/7
目标：等距变换保持规范正交基
由于 $\sigma$ 是等距变换，它保持内积，因此将规范正交基映为规范正交基。即 $\{\sigma(u_1), \sigma(u_2), \dots, \sigma(u_n)\}$ 也是 $V$ 的一组规范正交基。
公式：$\langle \sigma(u_i), \sigma(u_j) \rangle = \langle u_i, u_j \rangle = \delta_{ij}$
提示：等距变换的定义：$\langle \sigma(x), \sigma(y) \rangle = \langle x, y \rangle$ 对所有 $x,y \in V$。
步骤 4/7
目标：确定 $\sigma(u_1), \sigma(u_2)$ 张成 $W$
已知 $[\sigma(u_1), \sigma(u_2)] = [v_1, v_2] = W$，所以 $\sigma(u_1), \sigma(u_2)$ 是 $W$ 的一组基。
提示：注意等距变换不改变子空间的维数，且 $\sigma(u_1), \sigma(u_2)$ 线性无关。
步骤 5/7
目标：证明 $\sigma(u_3), \dots, \sigma(u_n)$ 与 $W$ 正交
因为 $\{\sigma(u_i)\}$ 是规范正交基，所以对于 $i \geq 3$，$\sigma(u_i)$ 与 $\sigma(u_1), \sigma(u_2)$ 正交，即 $\langle \sigma(u_i), \sigma(u_1) \rangle = 0$，$\langle \sigma(u_i), \sigma(u_2) \rangle = 0$。因此 $\sigma(u_i) \in W^\perp$ 对所有 $i \geq 3$。
公式：$\langle \sigma(u_i), \sigma(u_j) \rangle = 0$ 当 $i \neq j$
提示：规范正交基中不同向量正交。
步骤 6/7
目标：利用维数论证张成空间相等
$\dim W^\perp = n-2$，而 $\sigma(u_3), \dots, \sigma(u_n)$ 是 $n-2$ 个线性无关的向量（因为它们是规范正交基的一部分），所以它们构成 $W^\perp$ 的一组基，从而 $[\sigma(u_3), \dots, \sigma(u_n)] = W^\perp = [v_3, \dots, v_n]$。
公式：$\dim W^\perp = \dim V - \dim W = n - 2$
提示：线性无关的向量个数等于维数时，它们张成整个子空间。
步骤 7/7
目标：总结结论
因此，$[\sigma(u_3), \sigma(u_4), \cdots, \sigma(u_n)] = [v_3, v_4, \cdots, v_n]$，得证。
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