吉林大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．设 $A$ 为 $n$ 阶幂等矩阵，即 $\displaystyle A^{2}=A$ ．证明：
（1）$A$ 可以对角化．
（2） $\displaystyle \operatorname{tr}(A)=$ 秩 $\displaystyle (A)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定特征值范围
设 $\lambda$ 是 $A$ 的任意特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{x} \neq 0$，则 $A\mathbf{x} = \lambda\mathbf{x}$。两边左乘 $A$ 得 $A^2\mathbf{x} = \lambda A\mathbf{x} = \lambda^2\mathbf{x}$。由 $A^2 = A$ 得 $\lambda\mathbf{x} = \lambda^2\mathbf{x}$，即 $(\lambda^2 - \lambda)\mathbf{x} = 0$。由于 $\mathbf{x} \neq 0$，故 $\lambda^2 - \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。因此 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。
公式：$A^2 = A$
提示：注意特征向量非零，才能推出特征方程。
步骤 2/4
目标：利用最小多项式证明可对角化
由 $A^2 = A$ 得 $A^2 - A = 0$，即 $A(A - I) = 0$。因此 $A$ 的最小多项式 $m(x)$ 整除 $x(x-1)$。由于 $x(x-1)$ 无重根，所以 $m(x)$ 也无重根。而矩阵可对角化的充要条件是最小多项式无重根，故 $A$ 可对角化。
公式：$A^2 - A = 0$
提示：最小多项式无重根是对角化的充要条件，注意与特征多项式区分。
步骤 3/4
目标：计算秩与特征值的关系
由（1）知 $A$ 可对角化，且特征值只有 $0$ 和 $1$。设 $A$ 的秩为 $r$，则 $A$ 有 $r$ 个特征值 $1$ 和 $n-r$ 个特征值 $0$。这是因为对角化后，对角线上 $1$ 的个数等于秩。
提示：秩等于非零特征值的个数（计重数），但前提是矩阵可对角化。
步骤 4/4
目标：计算迹并证明等式
迹等于特征值之和，所以 $\operatorname{tr}(A) = r \cdot 1 + (n-r) \cdot 0 = r = \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i$
提示：迹是特征值之和，注意特征值包括重数。
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