吉林大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A+I$ 与 $\displaystyle A-I$ 合同当且仅当 $\displaystyle A^{2}-I$ 正定．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：明确已知条件与目标
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，则 $A+I$ 与 $A-I$ 均为实对称矩阵。要证明 $A+I$ 与 $A-I$ 合同当且仅当 $A^2-I$ 正定。
提示：注意实对称矩阵的性质：合同关系保持对称性。
步骤 2/8
目标：必要性：假设合同，推导特征值条件
假设 $A+I$ 与 $A-I$ 合同，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $P^T(A+I)P = A-I$。由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^TAQ = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$，其中 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值。于是 $Q^T(A+I)Q = \Lambda+I$，$Q^T(A-I)Q = \Lambda-I$。合同关系在正交变换下保持，因此 $\Lambda+I$ 与 $\Lambda-I$ 合同。
公式：$P^T(A+I)P = A-I$
提示：合同关系在正交变换下不变，但注意正交变换是特殊的合同变换。
步骤 3/8
目标：必要性：分析对角矩阵的合同条件
两个对角矩阵合同当且仅当它们有相同的正负惯性指数，即正、负、零特征值的个数分别相等。设 $\lambda_i$ 是 $A$ 的特征值，则 $\lambda_i+1$ 与 $\lambda_i-1$ 的符号分布相同。由于 $\lambda_i+1$ 与 $\lambda_i-1$ 不可能同时为零（差为2），因此它们必须同号。这意味着 $\lambda_i^2-1>0$ 对所有 $i$ 成立。
公式：$\lambda_i+1$ 与 $\lambda_i-1$ 同号 $\Rightarrow \lambda_i^2>1$
提示：注意零特征值的情况：若 $\lambda_i+1=0$ 则 $\lambda_i=-1$，此时 $\lambda_i-1=-2$，符号不同，故不可能。
步骤 4/8
目标：必要性：推出 $A^2-I$ 正定
由 $\lambda_i^2>1$ 得 $\lambda_i^2-1>0$，而 $A^2-I$ 的特征值为 $\lambda_i^2-1$，全部大于零，故 $A^2-I$ 正定。
公式：$A^2-I$ 的特征值为 $\lambda_i^2-1$
提示：正定矩阵的定义：所有特征值大于零。
步骤 5/8
目标：充分性：假设 $A^2-I$ 正定，推导特征值条件
若 $A^2-I$ 正定，则其特征值 $\lambda_i^2-1>0$，即 $\lambda_i^2>1$，故 $\lambda_i>1$ 或 $\lambda_i<-1$。
公式：$\lambda_i^2>1$
提示：注意 $\lambda_i$ 是实数，因为 $A$ 是实对称矩阵。
步骤 6/8
目标：充分性：证明 $\Lambda+I$ 与 $\Lambda-I$ 合同
考虑正交变换 $x=Qy$ 使 $A$ 对角化，则二次型 $x^T(A+I)x = y^T(\Lambda+I)y = \sum (\lambda_i+1)y_i^2$，$x^T(A-I)x = y^T(\Lambda-I)y = \sum (\lambda_i-1)y_i^2$。由于 $\lambda_i>1$ 时 $\lambda_i+1>0$ 且 $\lambda_i-1>0$；$\lambda_i<-1$ 时 $\lambda_i+1<0$ 且 $\lambda_i-1<0$。因此 $\Lambda+I$ 与 $\Lambda-I$ 的正负惯性指数相同，从而它们合同。
公式：$\lambda_i+1$ 与 $\lambda_i-1$ 同号
提示：合同关系由惯性指数决定，注意正负惯性指数相同即合同。
步骤 7/8
目标：充分性：推出 $A+I$ 与 $A-I$ 合同
由于 $\Lambda+I$ 与 $\Lambda-I$ 合同，且 $Q$ 是正交矩阵，则 $A+I = Q(\Lambda+I)Q^T$ 与 $A-I = Q(\Lambda-I)Q^T$ 也合同（因为合同关系在正交变换下保持）。因此 $A+I$ 与 $A-I$ 合同。
提示：注意：正交变换是特殊的合同变换，即 $Q^T = Q^{-1}$。
步骤 8/8
目标：总结结论
综合必要性与充分性，$A+I$ 与 $A-I$ 合同当且仅当 $A^2-I$ 正定。
提示：证明完成，注意逻辑的完整性。
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