吉林大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．在空间直角坐标系下，设双曲拋物面 $S$ 的一般方程为 $\displaystyle x^{2}-4 y^{2}=2 z$ ．
（1）证明：对 $S$ 中任意一点，有两条直母线经过它．
（2）求 $S$ 中所有垂直相交的直母线的交点构成的图形的方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：改写双曲抛物面方程
将双曲抛物面方程 $x^2 - 4y^2 = 2z$ 改写为 $(x+2y)(x-2y) = 2z$，并令 $u = x+2y$, $v = x-2y$，则 $uv = 2z$。
公式：$(x+2y)(x-2y)=2z$
提示：注意因式分解的正确性，$x^2-4y^2 = (x+2y)(x-2y)$。
步骤 2/6
目标：构造经过任意点的两条直母线
对于 $S$ 上任意一点 $(x_0,y_0,z_0)$，对应 $u_0 = x_0+2y_0$, $v_0 = x_0-2y_0$，满足 $u_0v_0=2z_0$。构造直线族：
\[
\begin{cases}
x+2y = u_0 \\
2z = v_0(x-2y)
\end{cases}
\quad \text{和} \quad
\begin{cases}
x-2y = v_0 \\
2z = u_0(x+2y)
\end{cases}
\]
这两条直线均经过点 $(x_0,y_0,z_0)$，且代入 $S$ 方程成立，因此完全位于 $S$ 上。
提示：验证直线在曲面上：将直线方程代入原方程，应恒成立。
步骤 3/6
目标：参数化直母线并求方向向量
对于过点 $P(x,y,z)$ 的两条直母线，设 $u = x+2y$, $v = x-2y$，则 $uv=2z$。
$l_1$: 令 $x-2y = t$，则 $x+2y = u$ 常数，$2z = v t$，解得 $x = \frac{u+t}{2}$, $y = \frac{u-t}{4}$, $z = \frac{v t}{2}$，方向向量为 $\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{v}{2}\right)$。
$l_2$: 令 $x+2y = s$，则 $x-2y = v$ 常数，$2z = u s$，解得 $x = \frac{s+v}{2}$, $y = \frac{s-v}{4}$, $z = \frac{u s}{2}$，方向向量为 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{u}{2}\right)$。
公式：方向向量：$\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{v}{2}\right)$ 和 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{u}{2}\right)$
提示：参数化时注意选择自由变量，确保方向向量非零。
步骤 4/6
目标：利用垂直条件建立方程
两直线垂直等价于方向向量点积为0：
\[
\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, \frac{v}{2}\right) \cdot \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{u}{2}\right) = \frac{1}{4} - \frac{1}{16} + \frac{uv}{4} = \frac{3}{16} + \frac{uv}{4} = 0.
\]
代入 $uv = 2z$，得 $\frac{3}{16} + \frac{2z}{4} = \frac{3}{16} + \frac{z}{2} = 0$，解得 $z = -\frac{3}{8}$。
公式：$\frac{3}{16} + \frac{z}{2} = 0$
提示：点积计算要仔细，注意符号和分数运算。
步骤 5/6
目标：利用曲面方程得到交点轨迹
交点 $P$ 在 $S$ 上，满足 $x^2 - 4y^2 = 2z = -\frac{3}{4}$，即 $x^2 - 4y^2 = -\frac{3}{4}$。因此，所有垂直相交的直母线的交点构成的图形是平面 $z = -\frac{3}{8}$ 与双曲抛物面 $S$ 的交线，即双曲线 $x^2 - 4y^2 = -\frac{3}{4}$ 在平面 $z = -\frac{3}{8}$ 上。
公式：$x^2 - 4y^2 = -\frac{3}{4}$
提示：注意 $2z = -\frac{3}{4}$ 代入时不要遗漏系数。
步骤 6/6
目标：写出最终图形方程
所求图形的方程为：
\[
\begin{cases}
x^2 - 4y^2 = -\frac{3}{4} \\
z = -\frac{3}{8}
\end{cases}
\]
提示：最终结果应表示为方程组形式，明确是平面上的双曲线。
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