吉林大学 2026年高等代数第0题

直线L由两个平面交线给出，其方向向量$\mathbf{s}_L$垂直于两平面的法向量。平面$x+2y-2=0$的法向量$\mathbf{n}_1=(1,2,0)$，平面$x+z-1=0$的法向量$\mathbf{n}_2=(1,0,1)$。计算叉积：$\mathbf{s}_L = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = (2\cdot1-0\cdot0, 0\cdot1-1\cdot1, 1\cdot0-2\cdot1) = (2, -1, -2)$。

令$z=0$，由$x+z-1=0$得$x=1$，代入$x+2y-2=0$得$1+2y-2=0$，解得$y=\frac{1}{2}$。故点$P_0=(1, \frac{1}{2}, 0)$在L上。

平面$\Pi: x+y+z=2$的法向量$\mathbf{n}=(1,1,1)$。

由于l在平面Π内且与L垂直，故l的方向向量$\mathbf{s}$同时垂直于$\mathbf{n}$和$\mathbf{s}_L$。计算叉积：$\mathbf{s} = \mathbf{n} \times \mathbf{s}_L = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & -2 \end{vmatrix} = (1\cdot(-2)-1\cdot(-1), 1\cdot2-1\cdot(-2), 1\cdot(-1)-1\cdot2) = (-2+1, 2+2, -1-2) = (-1, 4, -3)$。

设交点P在L上，由L的方向向量$(2,-1,-2)$和点$P_0=(1,\frac{1}{2},0)$得L的参数方程：$\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = \frac{1}{2} - t \\ z = -2t \end{cases}$，$t \in \mathbb{R}$。代入平面Π方程：$(1+2t) + (\frac{1}{2}-t) + (-2t) = 2$，化简得$\frac{3}{2} - t = 2$，解得$t = -\frac{1}{2}$。故交点P坐标为$(0, 1, 1)$。

直线l过点$P(0,1,1)$，方向向量$\mathbf{s}=(-1,4,-3)$，对称式方程为$\frac{x-0}{-1} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-1}{-3}$，即$\frac{x}{-1} = \frac{y-1}{4} = \frac{z-1}{-3}$。化为一般方程：由$\frac{x}{-1} = \frac{y-1}{4}$得$4x = -(y-1)$，即$4x + y - 1 = 0$；由$\frac{x}{-1} = \frac{z-1}{-3}$得$-3x = -(z-1)$，即$3x - z + 1 = 0$。故直线l的一般方程为$\begin{cases} 4x + y - 1 = 0 \\ 3x - z + 1 = 0 \end{cases}$。