吉林大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．设 $n$ 阶上三角矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 2 & 3 & \cdots & n \\
& 1 & 2 & \cdots & n-1 \\
& & 1 & \cdots & n-2 \\
& & & \ddots & \vdots \\
& & & & 1
\end{array}\right) .
$$
（1）求 $A$ 的极小多项式和 Jordan 标准形．
（2）证明：$\displaystyle K=\left\{B \in M_{n}(\mathbb{C}) \mid(A-I) B=O\right\}$ 是 $\displaystyle M_{n}(\mathbb{C})$ 的子空间，并求 $\displaystyle \operatorname{dim}_{\mathbb{C}} K$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征值并构造幂零矩阵
矩阵 $A$ 是上三角矩阵，对角线元素全为1，因此特征值全为1。令 $N = A - I$，则 $N$ 是严格上三角矩阵，其元素为：$N_{i,i+j} = j+1$（$i+j \leq n$），特别地，次对角线元素 $N_{i,i+1}=2$。
公式：$N = A - I$
提示：注意 $N$ 的次对角线元素不是1，而是2，这会影响后续秩的计算。
步骤 2/6
目标：确定 $N$ 的秩和幂零指数
由于 $N$ 的次对角线元素全为2（非零），且严格上三角，$N$ 的秩为 $n-1$（前 $n-1$ 行每行在次对角线有一个非零元，且列互异）。$N$ 是幂零矩阵，$N^n=0$。
公式：$\operatorname{rank}(N)=n-1$
提示：严格上三角矩阵的秩不超过 $n-1$，这里恰好取到最大值。
步骤 3/6
目标：求 Jordan 标准形
特征值全为1，且 $\operatorname{rank}(N)=n-1$，则 $\dim\ker(N)=1$，即只有一个线性无关的特征向量，因此 Jordan 标准形只有一个 Jordan 块，大小为 $n$，即 $J_n(1)$。
公式：$J = J_n(1)$
提示：Jordan 块个数等于几何重数，这里几何重数为1。
步骤 4/6
目标：求极小多项式
由于只有一个 Jordan 块，极小多项式为 $(\lambda-1)^n$。实际上，$N^{n-1} \neq 0$ 而 $N^n=0$，所以极小多项式次数为 $n$。
公式：$m(\lambda) = (\lambda-1)^n$
提示：极小多项式的次数等于最大 Jordan 块的大小。
步骤 5/6
目标：证明 $K$ 是子空间
$K = \{B \in M_n(\mathbb{C}) \mid (A-I)B = O\} = \ker(L_N)$，其中 $L_N$ 是左乘 $N$ 的线性映射。线性映射的核是子空间，故 $K$ 是 $M_n(\mathbb{C})$ 的子空间。
公式：$K = \ker(L_N)$
提示：验证子空间需检查加法封闭和数乘封闭，这里直接由核的性质得到。
步骤 6/6
目标：求 $\dim K$
将 $B$ 按列分块：$B = (b_1, \dots, b_n)$，则 $NB = O$ 等价于每个 $Nb_j = 0$，故 $K \cong (\ker(N))^n$。由 $\dim\ker(N)=1$，得 $\dim K = n$。
公式：$\dim K = n \cdot \dim\ker(N) = n$
提示：注意 $\ker(N)$ 由 $e_1=(1,0,\dots,0)^T$ 张成，因此 $K$ 中矩阵的第一行任意，其余行全为零。
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