哈尔滨工业大学 2012年高等代数第6题
📝 题目
6．已知列向量组 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}, \alpha_{4}$ 的秩是3，
$$
\beta=\alpha_{1}+3 \alpha_{2}+\alpha_{3}+4 \alpha_{4} ; \quad \beta=5 \alpha_{1}+2 \alpha_{2}+3 \alpha_{3}+2 \alpha_{4}
$$
求方程组 $\displaystyle x_{1} \alpha_{1}+x_{2} \alpha_{2}+x_{3} \alpha_{3}+x_{4} \alpha_{4}=\beta$ 的通解。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 的秩为3，且 $\beta$ 有两个线性表示：$\beta = \alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3 + 4\alpha_4$ 和 $\beta = 5\alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 + 2\alpha_4$。
提示：注意秩为3意味着向量组线性相关，且存在非零的线性关系。
步骤 2/6
目标：由两个表达式相等得到线性关系
由 $\alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3 + 4\alpha_4 = 5\alpha_1 + 2\alpha_2 + 3\alpha_3 + 2\alpha_4$ 移项得：$(1-5)\alpha_1 + (3-2)\alpha_2 + (1-3)\alpha_3 + (4-2)\alpha_4 = 0$，即 $-4\alpha_1 + \alpha_2 -2\alpha_3 + 2\alpha_4 = 0$。
提示：移项时注意符号，不要漏项。
步骤 3/6
目标：确定线性关系的系数向量
线性关系 $-4\alpha_1 + \alpha_2 -2\alpha_3 + 2\alpha_4 = 0$ 的系数向量为 $(-4, 1, -2, 2)^T$。由于秩为3，该线性关系是唯一的（除常数倍外），因此齐次方程的基础解系只包含这一个向量。
提示：秩为3意味着线性相关关系只有一个，即基础解系维数为1。
步骤 4/6
目标：求非齐次方程的一个特解
由 $\beta$ 的第一个表达式 $\beta = \alpha_1 + 3\alpha_2 + \alpha_3 + 4\alpha_4$ 可知，$x_1=1, x_2=3, x_3=1, x_4=4$ 是一个特解，即 $\eta^* = (1,3,1,4)^T$。同样，第二个表达式给出另一个特解 $(5,2,3,2)^T$。
提示：特解不唯一，任选一个即可。
步骤 5/6
目标：写出齐次方程的通解
齐次方程 $x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 + x_4\alpha_4 = 0$ 的通解为 $k(-4, 1, -2, 2)^T$，其中 $k$ 为任意常数。
提示：注意基础解系向量要乘以任意常数。
步骤 6/6
目标：得到非齐次方程的通解
非齐次方程的通解等于特解加上齐次通解：$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} + k \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix}$，$k \in \mathbb{R}$。也可用另一个特解表示。
提示：通解形式不唯一，但所有解都可由该形式表示。
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