哈尔滨工业大学 2014年高等代数第10题
📝 题目
10．设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$k$ 是任意正整数，$\displaystyle X=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)^{T}$ ，如果
$$
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}\left(A^{2}\right) .
$$
（1）证提：文次线性方程组 $\displaystyle A X=0$ 与 $\displaystyle A^{2} X=0$ 同解。
（2）证明： $\displaystyle \operatorname{rank}\left(A^{k}\right)=\operatorname{rank}(A)$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明AX=0的解都是A^2X=0的解
若 $AX=0$，则 $A^2X = A(AX) = A0 = 0$，所以 $AX=0$ 的解都是 $A^2X=0$ 的解，即 $\ker A \subseteq \ker A^2$。
提示：注意矩阵乘法结合律：$A^2X = A(AX)$。
步骤 2/5
目标：利用秩相等推导核空间维数相等
由 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(A^2)$，根据维数公式 $\dim\ker A = n - \operatorname{rank}(A)$，$\dim\ker A^2 = n - \operatorname{rank}(A^2)$，所以 $\dim\ker A = \dim\ker A^2$。
公式：维数公式：$\dim\ker A = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：维数公式适用于任意矩阵，这里 $A$ 是 $n$ 阶方阵。
步骤 3/5
目标：证明ker A = ker A^2
已知 $\ker A \subseteq \ker A^2$ 且 $\dim\ker A = \dim\ker A^2$，故 $\ker A = \ker A^2$。因此 $A^2X=0$ 的解也是 $AX=0$ 的解，两方程组同解。
提示：子空间包含且维数相等则子空间相等。
步骤 4/5
目标：用数学归纳法证明ker A^k = ker A
基础步：$k=1$ 时显然成立。归纳假设：设 $\ker A^k = \ker A$。考虑 $\ker A^{k+1}$：若 $X \in \ker A^{k+1}$，则 $A^{k+1}X=0$，即 $A^k(AX)=0$，故 $AX \in \ker A^k = \ker A$，所以 $A(AX)=0$，即 $A^2X=0$。由(1)知 $AX=0$，从而 $X \in \ker A$。反之，若 $X \in \ker A$，则 $A^{k+1}X = A^k(AX)=0$，故 $\ker A \subseteq \ker A^{k+1}$。因此 $\ker A^{k+1} = \ker A$。由归纳法，对所有正整数 $k$ 成立。
提示：归纳步骤中注意利用(1)的结论：$\ker A = \ker A^2$。
步骤 5/5
目标：由核空间相等推出秩相等
由 $\ker A^k = \ker A$ 得 $\dim\ker A^k = \dim\ker A$，根据维数公式 $\operatorname{rank}(A^k) = n - \dim\ker A^k$，$\operatorname{rank}(A) = n - \dim\ker A$，所以 $\operatorname{rank}(A^k) = \operatorname{rank}(A)$。
公式：维数公式：$\operatorname{rank}(A^k) = n - \dim\ker A^k$
提示：注意 $A^k$ 也是 $n$ 阶方阵，维数公式适用。
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