哈尔滨工业大学 2014年高等代数第9题

本题要证明的结论正是Frobenius不等式：对于任意矩阵 $A \in P^{m \times n}, B \in P^{n \times p}, C \in P^{p \times s}$，有 \[ \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \leq \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC). \] 移项即得所需不等式。

考虑分块矩阵 \[ M = \begin{pmatrix} B & BC \\ AB & ABC \end{pmatrix}. \] 对 $M$ 进行初等行变换和列变换：左乘 $\begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -A & I_m \end{pmatrix}$，右乘 $\begin{pmatrix} I_p & -C \\ 0 & I_s \end{pmatrix}$，得到 \[ \begin{pmatrix} I_n & 0 \\ -A & I_m \end{pmatrix} M \begin{pmatrix} I_p & -C \\ 0 & I_s \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}. \] 因此 $\operatorname{rank}(M) = \operatorname{rank}(B)$。

由分块矩阵的秩性质，有 \[ \operatorname{rank}\begin{pmatrix} B & BC \\ AB & ABC \end{pmatrix} \geq \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC) - \operatorname{rank}(BC) - \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(B)? \] 但更直接地，考虑子矩阵的秩关系：左上角 $B$ 的秩为 $\operatorname{rank}(B)$，右下角 $ABC$ 的秩为 $\operatorname{rank}(ABC)$，而 $M$ 的秩等于 $\operatorname{rank}(B)$，因此 \[ \operatorname{rank}(B) \geq \operatorname{rank}(ABC) + \operatorname{rank}(B) - \operatorname{rank}(BC) - \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(B)? \] 实际上，标准的不等式是 \[ \operatorname{rank}\begin{pmatrix} X & Y \\ Z & W \end{pmatrix} \geq \operatorname{rank}(X) + \operatorname{rank}(W) - \operatorname{rank}(Y) - \operatorname{rank}(Z) + \operatorname{rank}(X)? \] 但这里我们采用另一种方法。

考虑线性映射：设 $V = P^n$，$U = \operatorname{Im}(BC) \subseteq V$，则 $\operatorname{rank}(BC) = \dim U$。映射 $A: V \to P^m$ 限制在 $\operatorname{Im}(B)$ 上，有 \[ \operatorname{rank}(AB) = \dim A(\operatorname{Im}(B)) = \dim \operatorname{Im}(B) - \dim(\operatorname{Im}(B) \cap \ker A). \] 类似地， \[ \operatorname{rank}(ABC) = \dim A(\operatorname{Im}(BC)) = \dim \operatorname{Im}(BC) - \dim(\operatorname{Im}(BC) \cap \ker A). \] 由于 $\operatorname{Im}(BC) \subseteq \operatorname{Im}(B)$，有 $\operatorname{Im}(BC) \cap \ker A \subseteq \operatorname{Im}(B) \cap \ker A$，因此 \[ \dim(\operatorname{Im}(BC) \cap \ker A) \leq \dim(\operatorname{Im}(B) \cap \ker A). \]

将上述等式代入 $\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC)$，得 \[ \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) = \dim \operatorname{Im}(B) - \dim(\operatorname{Im}(B) \cap \ker A) + \dim \operatorname{Im}(BC). \] 利用 $\dim(\operatorname{Im}(BC) \cap \ker A) \leq \dim(\operatorname{Im}(B) \cap \ker A)$，有 \[ \dim \operatorname{Im}(B) - \dim(\operatorname{Im}(B) \cap \ker A) \leq \dim \operatorname{Im}(B) - \dim(\operatorname{Im}(BC) \cap \ker A). \] 因此 \[ \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \leq \dim \operatorname{Im}(B) + \dim \operatorname{Im}(BC) - \dim(\operatorname{Im}(BC) \cap \ker A) = \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC). \]

将不等式 $\operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) \leq \operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(ABC)$ 移项，即得 \[ \operatorname{rank}(AB) + \operatorname{rank}(BC) - \operatorname{rank}(B) \leq \operatorname{rank}(ABC). \] 证毕。