哈尔滨工业大学 2018年高等代数第0题

已知对任意正整数k，有$f(k)=\sum_{m=1}^k m^5$。由自然数幂和公式，$\sum_{m=1}^k m^5 = \frac{k^2(k+1)^2(2k^2+2k-1)}{12}$，这是一个关于k的6次多项式。由于f(x)是多项式，且在无穷多个点（所有正整数）上与这个6次多项式相等，因此f(x)恒等于该多项式，即$f(x)=\frac{x^2(x+1)^2(2x^2+2x-1)}{12}$。

将x=-3代入f(x)表达式：$f(-3)=\frac{(-3)^2(-3+1)^2(2\cdot(-3)^2+2\cdot(-3)-1)}{12}=\frac{9\cdot(-2)^2(2\cdot9-6-1)}{12}=\frac{9\cdot4\cdot(18-7)}{12}=\frac{36\cdot11}{12}=3\cdot11=33$。

二次型$q=x_1x_2+x_2x_3+\cdots+x_{98}x_{99}$。其矩阵A为99阶对称矩阵，主对角线全为0，次对角线（即(i,i+1)和(i+1,i)位置）为1/2，其余为0。即$A=\frac12\begin{pmatrix}0&1&0&\cdots&0\\1&0&1&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&0\end{pmatrix}$。

考虑矩阵$B=2A$，则B为三对角矩阵，主对角线为0，次对角线为1。B的特征多项式$D_n(\lambda)=\det(\lambda I-B)$满足递推：$D_1(\lambda)=\lambda$，$D_2(\lambda)=\lambda^2-1$，$D_k(\lambda)=\lambda D_{k-1}(\lambda)-D_{k-2}(\lambda)$。解此递推得$D_n(\lambda)=U_n(\lambda/2)$，其中$U_n$是第二类切比雪夫多项式。特征值为$\lambda_j=2\cos\frac{j\pi}{n+1}$，$j=1,\dots,n$。因此A的特征值为$\mu_j=\cos\frac{j\pi}{n+1}$。

n=99，则$\mu_j=\cos\frac{j\pi}{100}$，j=1,...,99。余弦函数在$(0,\pi)$上，当角度小于$\pi/2$时为正，大于$\pi/2$时为负。$\frac{j\pi}{100}<\frac{\pi}{2}$当且仅当j<50，即j=1,...,49时$\mu_j>0$；j=50时$\mu_{50}=0$；j=51,...,99时$\mu_j<0$。因此正特征值个数为49，零特征值个数为1，负特征值个数为49。正惯性指数等于正特征值个数，即49。