哈尔滨工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $x^{3}+3 x+a x=1$ 的三个根成等差数列，求 $a$ ．
5 ．求
$$
\left(\begin{array}{ccc}
-1 & 0 & 0 \\
1 & -1 & 0 \\
0 & 1 & -1
\end{array}\right)^{99}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：整理方程并设根
原方程 $x^3+3x+ax=1$ 整理为 $x^3+(3+a)x-1=0$。设三个根成等差数列，公差为 $d$，则根可设为 $\alpha-d,\alpha,\alpha+d$。
提示：注意方程需化为标准形式 $x^3+px^2+qx+r=0$，这里二次项系数为0。
步骤 2/8
目标：利用根与系数的关系
由根与系数的关系：
- 根之和：$(\alpha-d)+\alpha+(\alpha+d)=3\alpha = 0$，得 $\alpha=0$。
- 根之积：$(\alpha-d)\alpha(\alpha+d)=\alpha(\alpha^2-d^2)=0$，但常数项为 $-1$，故 $0=-1$，矛盾。
公式：对于三次方程 $x^3+px^2+qx+r=0$，根之和为 $-p$，根之积为 $-r$。
提示：注意常数项是 $-1$，根之积应为 $-(-1)=1$？实际上标准形式 $x^3+px^2+qx+r=0$ 中根之积为 $-r$，这里 $r=-1$，所以根之积为 $1$。但计算得 $0$，矛盾。
步骤 3/8
目标：发现矛盾并修正方程
原题可能笔误，常见题型为 $x^3+3x^2+ax=1$，即 $x^3+3x^2+ax-1=0$。设根为 $\alpha-d,\alpha,\alpha+d$，则根之和 $3\alpha=-3$，得 $\alpha=-1$。
提示：检查题目是否遗漏二次项。
步骤 4/8
目标：利用根之积求公差
根之积：$(\alpha-d)\alpha(\alpha+d)=\alpha(\alpha^2-d^2)=(-1)(1-d^2)=1$（因为常数项为 $-1$，根之积为 $-(-1)=1$），解得 $1-d^2=-1$，即 $d^2=2$，$d=\pm\sqrt{2}$。
提示：注意根之积公式：$x^3+px^2+qx+r=0$ 的根之积为 $-r$。
步骤 5/8
目标：利用根的两两积之和求a
根的两两积之和：$(\alpha-d)\alpha+\alpha(\alpha+d)+(\alpha-d)(\alpha+d)=3\alpha^2-d^2=3\times1-2=1$，而方程中 $q=a$，故 $a=1$。
公式：对于 $x^3+px^2+qx+r=0$，根的两两积之和为 $q$。
提示：注意 $p=3$，$q=a$，$r=-1$。
步骤 6/8
目标：第5题：将矩阵分解为对角阵与幂零阵之和
设 $A=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，则 $A=-I+N$，其中 $N=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$。计算 $N^2=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，$N^3=0$。
提示：注意 $N$ 是严格下三角矩阵，幂零指数为3。
步骤 7/8
目标：利用二项式定理展开
由于 $I$ 与 $N$ 可交换，$A^{99}=(-I+N)^{99}=\sum_{k=0}^{99}\binom{99}{k}(-I)^{99-k}N^k$。当 $k\ge3$ 时 $N^k=0$，故只需 $k=0,1,2$。
公式：$(A+B)^n=\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}A^{n-k}B^k$ 当 $AB=BA$。
提示：注意 $(-I)^{99-k}=(-1)^{99-k}I$。
步骤 8/8
目标：计算各项并求和
计算：
- $k=0$：$\binom{99}{0}(-1)^{99}I=-I$
- $k=1$：$\binom{99}{1}(-1)^{98}N=99N$
- $k=2$：$\binom{99}{2}(-1)^{97}N^2=-\frac{99\times98}{2}N^2=-4851N^2$
所以 $A^{99}=-I+99N-4851N^2=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 99 & -1 & 0 \\ -4851 & 99 & -1 \end{pmatrix}$。
提示：注意 $N^2$ 只有 $(3,1)$ 位置为1，其余为0。
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