哈尔滨工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
七．判断正误，并说明理由．
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 \\
0 & -1 & 0
\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{ccc}
0 & x & y \\
-x & 0 & z \\
-y & -z & 0
\end{array}\right)
$$
是否存在正交矩阵 $P$ 使得 $\displaystyle A P=P B \Leftrightarrow x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件
题目要求判断是否存在正交矩阵 $P$ 使得 $AP = PB$ 等价于 $x^2+y^2+z^2=1$。注意 $P$ 是正交矩阵，满足 $P^{-1}=P^T$，因此 $AP=PB$ 等价于 $P^TAP = B$，即 $A$ 与 $B$ 正交相似。
提示：正交相似要求 $P$ 是正交矩阵，即 $P^T=P^{-1}$。
步骤 2/5
目标：计算矩阵 $A$ 的特征值
计算 $A$ 的特征多项式：
$$|\lambda I - A| = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 1 & \lambda \end{vmatrix} = \lambda(\lambda^2 - 1) = \lambda(\lambda-1)(\lambda+1).$$
所以 $A$ 的特征值为 $0, 1, -1$。
公式：特征多项式 $|\lambda I - A|$
提示：注意 $A$ 是实对称矩阵，特征值均为实数。
步骤 3/5
目标：计算矩阵 $B$ 的特征值
计算 $B$ 的特征多项式：
$$|\lambda I - B| = \begin{vmatrix} \lambda & -x & -y \\ x & \lambda & -z \\ y & z & \lambda \end{vmatrix} = \lambda(\lambda^2 + x^2 + y^2 + z^2) = \lambda(\lambda^2 + r^2),$$
其中 $r^2 = x^2+y^2+z^2$。所以 $B$ 的特征值为 $0, \pm i r$（$i$ 为虚数单位）。
公式：特征多项式 $|\lambda I - B|$
提示：注意 $B$ 是实反对称矩阵，特征值为纯虚数或零。
步骤 4/5
目标：分析正交相似的必要条件
若存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^TAP = B$，则 $A$ 与 $B$ 相似，从而特征值相同（包括重数）。$A$ 的特征值为 $0,1,-1$，$B$ 的特征值为 $0, \pm i r$。要使两者相等，必须 $r=0$ 且 $\pm i r = \pm 1$，但 $r=0$ 时 $B$ 的特征值为 $0$（三重），与 $A$ 的特征值不符。因此，无论 $x,y,z$ 取何值，$A$ 与 $B$ 的特征值都不相同。
提示：相似矩阵有相同的特征值，这是判断相似的必要条件。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $A$ 与 $B$ 的特征值不可能相等，故不存在正交矩阵 $P$ 使得 $AP=PB$。因此，题目中的命题“存在正交矩阵 $P$ 使得 $AP=PB \Leftrightarrow x^2+y^2+z^2=1$”是错误的。
提示：注意：即使 $x^2+y^2+z^2=1$，$B$ 的特征值为 $0, \pm i$，仍与 $A$ 的特征值不同。
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