哈尔滨工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
五．判断正误，并说明理由．
对任意 $a$ ，是否存在唯一 $\displaystyle b, c$ 使得 $\displaystyle x^{2}+a x+1 \mid x^{4}+x^{3}+c x+b$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解题意与整除条件
设 $f(x)=x^4+x^3+cx+b$，$g(x)=x^2+ax+1$。要判断是否存在唯一 $b,c$ 使得 $g(x) \mid f(x)$。由多项式除法，存在唯一商 $q(x)$ 和余式 $r(x)$ 满足 $f(x)=g(x)q(x)+r(x)$，其中 $\deg r(x)<2$。整除当且仅当 $r(x)=0$，即余式系数全为零。
提示：注意余式的次数必须小于除式的次数，这里是二次，所以余式是一次或常数。
步骤 2/6
目标：进行多项式除法
用 $g(x)=x^2+ax+1$ 除 $f(x)=x^4+x^3+0x^2+cx+b$：
第一步：$x^4 \div x^2 = x^2$，乘 $g(x)$ 得 $x^4+ax^3+x^2$，相减得 $(1-a)x^3 - x^2 + cx + b$。
第二步：$(1-a)x^3 \div x^2 = (1-a)x$，乘 $g(x)$ 得 $(1-a)x^3 + a(1-a)x^2 + (1-a)x$，相减得 $(-1-a+a^2)x^2 + (c-1+a)x + b$。
第三步：$(-1-a+a^2)x^2 \div x^2 = (-1-a+a^2)$，乘 $g(x)$ 得 $(-1-a+a^2)x^2 + a(-1-a+a^2)x + (-1-a+a^2)$，相减得余式 $r(x)=px+q$，其中 $p = c-1+a - a(-1-a+a^2)$，$q = b + 1 + a - a^2$。
提示：除法过程中注意对齐同类项，特别是缺项补零。
步骤 3/6
目标：化简余数系数
计算 $p$：
$p = c - 1 + a - a(-1 - a + a^2) = c - 1 + a + a + a^2 - a^3 = c - 1 + 2a + a^2 - a^3$。
$q = b + 1 + a - a^2$。
提示：展开时注意符号，特别是负号乘以括号内各项。
步骤 4/6
目标：建立整除条件方程组
整除要求 $p=0$ 且 $q=0$，即：
\begin{cases}
c - 1 + 2a + a^2 - a^3 = 0 \\
b + 1 + a - a^2 = 0
\end{cases}
提示：方程组要正确列出，注意符号。
步骤 5/6
目标：解方程组得到b和c
由第二个方程得 $b = a^2 - a - 1$。
由第一个方程得 $c = 1 - 2a - a^2 + a^3$。
提示：解方程时注意移项变号。
步骤 6/6
目标：判断存在唯一性
对任意给定的 $a$，上述 $b$ 和 $c$ 由 $a$ 唯一确定，因此存在唯一的 $b,c$ 使得整除成立。故判断为正确。
提示：唯一性由多项式除法的唯一性保证。
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