哈尔滨工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
六．判断正误，并说明理由．
$\displaystyle A, B$ 为 $n$ 阶矩阵，则 $\displaystyle (A B)^{*}=B^{*} A^{*}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解伴随矩阵的定义和性质
伴随矩阵 $A^*$ 满足 $A A^* = A^* A = |A| I$，其中 $|A|$ 是 $A$ 的行列式。当 $A$ 可逆时，$A^* = |A| A^{-1}$。
公式：$A A^* = A^* A = |A| I$
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^*$ 的元素是 $A$ 的代数余子式的转置。
步骤 2/7
目标：考虑可逆情况下的证明
假设 $A$ 和 $B$ 均可逆，则 $A^* = |A| A^{-1}$，$B^* = |B| B^{-1}$，且 $(AB)^* = |AB| (AB)^{-1} = |A||B| B^{-1} A^{-1} = (|B| B^{-1})(|A| A^{-1}) = B^* A^*$。
公式：$(AB)^* = |AB| (AB)^{-1}$
提示：注意矩阵乘法顺序：$(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$。
步骤 3/7
目标：处理不可逆情况：引入参数
当 $A$ 或 $B$ 不可逆时，考虑 $A_t = A + tI$，$B_t = B + tI$，其中 $t$ 是实数参数。对于充分小的 $t$（除了有限个值），$A_t$ 和 $B_t$ 可逆。
公式：$A_t = A + tI$，$B_t = B + tI$
提示：参数 $t$ 的选择应使得 $A_t$ 和 $B_t$ 的行列式非零，这可以通过取 $t$ 足够小且避开特征值来实现。
步骤 4/7
目标：对可逆矩阵应用结论
由情况1，对于可逆的 $A_t$ 和 $B_t$，有 $(A_t B_t)^* = B_t^* A_t^*$。
提示：注意 $A_t B_t = AB + t(A+B) + t^2 I$，但此处直接应用可逆情况结论。
步骤 5/7
目标：利用多项式恒等性
等式 $(A_t B_t)^* = B_t^* A_t^*$ 两端都是 $t$ 的多项式（因为伴随矩阵的元素是原矩阵元素的多项式函数）。由于该等式对无穷多个 $t$（所有使 $A_t, B_t$ 可逆的 $t$）成立，因此作为多项式恒等式，它对所有 $t$ 成立。
提示：多项式恒等原理：如果两个多项式在无穷多个点上相等，则它们恒等。
步骤 6/7
目标：取特例得到结论
令 $t=0$，即得 $(AB)^* = B^* A^*$。
提示：注意 $t=0$ 时 $A_0 = A$，$B_0 = B$，且多项式恒等式在 $t=0$ 处也成立。
步骤 7/7
目标：总结
因此，对于任意 $n$ 阶矩阵 $A, B$，恒有 $(AB)^* = B^* A^*$。
提示：该结论与转置性质 $(AB)^T = B^T A^T$ 类似，但注意伴随矩阵的乘法顺序。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。