哈尔滨工业大学 2018年高等代数第0题
📝 题目
四．判断正误，并说明理由．
$\displaystyle A_{5 \times 4}$ 矩阵，则 $\displaystyle \mathrm{r}\left(E_{5}-A^{\prime} A\right)=\mathrm{r}\left(E_{4}-A A^{\prime}\right)+1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目表达式
题目给出 $A$ 是 $5 \times 4$ 矩阵，则 $A'A$ 是 $4 \times 4$ 矩阵，$AA'$ 是 $5 \times 5$ 矩阵。表达式 $E_5 - A'A$ 中，$E_5$ 是 $5 \times 5$ 单位矩阵，而 $A'A$ 是 $4 \times 4$ 矩阵，两者维度不匹配，无法进行减法运算。因此，该表达式无意义。
提示：注意矩阵运算的维度要求：只有同型矩阵才能相加减。
步骤 2/5
目标：分析可能的正确形式
通常，对于 $m \times n$ 矩阵 $A$，有恒等式 $\mathrm{r}(E_m - AA') = \mathrm{r}(E_n - A'A) + m - n$。这里 $m=5, n=4$，所以正确的形式应为 $\mathrm{r}(E_5 - AA') = \mathrm{r}(E_4 - A'A) + 1$。但题目中写成了 $\mathrm{r}(E_5 - A'A)$，显然是笔误。
公式：$\mathrm{r}(E_m - AA') = \mathrm{r}(E_n - A'A) + m - n$
提示：注意区分 $AA'$ 和 $A'A$ 的尺寸。
步骤 3/5
目标：判断命题正误
由于 $E_5 - A'A$ 无意义，原命题在数学上不成立，因此该命题错误。
提示：判断正误时，首先检查表达式是否合法。
步骤 4/5
目标：补充说明：若修正后命题成立
若将题目修正为 $\mathrm{r}(E_5 - AA') = \mathrm{r}(E_4 - A'A) + 1$，则命题正确。理由：$AA'$ 与 $A'A$ 的非零特征值相同，且 $AA'$ 比 $A'A$ 多 $5-4=1$ 个零特征值。因此，$E_5 - AA'$ 比 $E_4 - A'A$ 多一个特征值 $1$，且秩相差 $1$。
提示：特征值方法常用于证明此类秩等式。
步骤 5/5
目标：举例验证
取 $A=0_{5\times4}$，则 $A'A=0_{4\times4}$，$AA'=0_{5\times5}$，于是 $\mathrm{r}(E_4 - A'A)=4$，$\mathrm{r}(E_5 - AA')=5$，差为 $1$。再取 $A$ 为只有 $(1,1)$ 元素为 $1$ 其余为 $0$ 的矩阵，则 $A'A=\mathrm{diag}(1,0,0,0)$，$AA'=\mathrm{diag}(1,0,0,0,0)$，$\mathrm{r}(E_4 - A'A)=3$，$\mathrm{r}(E_5 - AA')=4$，差仍为 $1$。
提示：特例验证有助于理解命题。
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