哈尔滨工业大学 2022年高等代数第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle \sigma$ 为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 上的线性变换，证明以下两个命题等价：
（1）$\displaystyle (\sigma(\alpha), \sigma(\beta))=(\alpha, \beta), \forall \alpha, \beta \in \mathbb{R}^{n}$ ；
（2）$\displaystyle \sigma$ 将 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基映射为 $\displaystyle \mathbb{R}^{n}$ 的标准正交基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设定标准正交基
设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n$ 是 $\mathbb{R}^n$ 的标准正交基，即满足 $(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij}$，其中 $\delta_{ij}$ 是克罗内克函数。
公式：(\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij}
提示：注意标准正交基的定义：每个向量长度为1，且两两正交。
步骤 2/6
目标：证明 (1) ⇒ (2)：保持内积推出像为标准正交基
假设 (1) 成立，即 $\sigma$ 保持内积。对任意 $i, j$，有 $(\sigma(\varepsilon_i), \sigma(\varepsilon_j)) = (\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \delta_{ij}$。因此 $\sigma(\varepsilon_1), \sigma(\varepsilon_2), \dots, \sigma(\varepsilon_n)$ 是标准正交向量组。由于 $\sigma$ 是 $\mathbb{R}^n$ 上的线性变换，其像空间维数不超过 $n$，但 $n$ 个标准正交向量线性无关，故它们构成 $\mathbb{R}^n$ 的一组基，从而是标准正交基。
公式：(\sigma(\varepsilon_i), \sigma(\varepsilon_j)) = \delta_{ij}
提示：注意：标准正交向量组必然线性无关，且个数等于维数时构成基。
步骤 3/6
目标：证明 (2) ⇒ (1)：像为标准正交基推出保持内积
假设 (2) 成立，即 $\sigma$ 将标准正交基映射为标准正交基。设 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}^n$，可表示为 $\alpha = \sum_{i=1}^n a_i \varepsilon_i$，$\beta = \sum_{j=1}^n b_j \varepsilon_j$。
提示：任意向量可由基线性表示，注意系数唯一。
步骤 4/6
目标：计算像的内积
则 $\sigma(\alpha) = \sum_{i=1}^n a_i \sigma(\varepsilon_i)$，$\sigma(\beta) = \sum_{j=1}^n b_j \sigma(\varepsilon_j)$。由于 $\{\sigma(\varepsilon_i)\}$ 是标准正交基，有 $(\sigma(\varepsilon_i), \sigma(\varepsilon_j)) = \delta_{ij}$。于是 $(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = \left( \sum_i a_i \sigma(\varepsilon_i), \sum_j b_j \sigma(\varepsilon_j) \right) = \sum_{i,j} a_i b_j (\sigma(\varepsilon_i), \sigma(\varepsilon_j)) = \sum_i a_i b_i$。
公式：(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = \sum_i a_i b_i
提示：利用内积的双线性性和标准正交基的性质简化求和。
步骤 5/6
目标：计算原向量的内积
而 $(\alpha, \beta) = \left( \sum_i a_i \varepsilon_i, \sum_j b_j \varepsilon_j \right) = \sum_{i,j} a_i b_j (\varepsilon_i, \varepsilon_j) = \sum_i a_i b_i$。
公式：(\alpha, \beta) = \sum_i a_i b_i
提示：同样利用标准正交基的性质。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此 $(\sigma(\alpha), \sigma(\beta)) = (\alpha, \beta)$，即 (1) 成立。综上，两个命题等价。
提示：注意等价性证明需要双向推导。
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