哈尔滨工业大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4．讨论当 $\displaystyle \lambda$ 取何值时，如下方程有解，并求解
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+\lambda x_{2}+\lambda x_{3}+x_{4}=0 \\
2 x_{1}+x_{2}+x_{3}+2 x_{4}=0 \\
3 x_{1}+(\lambda+2) x_{2}+(\lambda+4) x_{3}+4 x_{4}=1
\end{array}\right.
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出增广矩阵
将方程组写成矩阵形式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中
$$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ 3 & \lambda+2 & \lambda+4 & 4 \end{pmatrix},\quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}.$$
增广矩阵为 $(A\mid\mathbf{b})$。
提示：注意常数项在最后一列。
步骤 2/8
目标：初等行变换化简
对增广矩阵进行初等行变换：
$$\begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 2 & 0 \\ 3 & \lambda+2 & \lambda+4 & 4 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_2-2R_1} \begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1-2\lambda & 1-2\lambda & 0 & 0 \\ 3 & \lambda+2 & \lambda+4 & 4 & 1 \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_3-3R_1} \begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1-2\lambda & 1-2\lambda & 0 & 0 \\ 0 & 2-2\lambda & 4-2\lambda & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$
提示：注意行变换的正确性，特别是第三行减去3倍第一行时，第二列和第三列要小心。
步骤 3/8
目标：讨论参数λ：情况1（λ≠1/2）
设 $t = 1-2\lambda$。当 $t \neq 0$ 即 $\lambda \neq \frac{1}{2}$ 时，将第二行除以 $t$：
$$\begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2-2\lambda & 4-2\lambda & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$
第三行减去 $(2-2\lambda)$ 倍第二行：
$$\begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$
提示：注意 $2-2\lambda$ 与 $t$ 的关系，确保消元正确。
步骤 4/8
目标：情况1：化为行最简形
继续化简：
$$\begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} \xrightarrow{R_3/2} \begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_2 - R_3} \begin{pmatrix} 1 & \lambda & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}$$
$$\xrightarrow{R_1 - \lambda R_2 - \lambda R_3} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & \lambda \\ 0 & 1 & 0 & -1/2 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}.$$
提示：注意 $R_1$ 的变换：$R_1 - \lambda R_2 - \lambda R_3$，确保计算准确。
步骤 5/8
目标：情况1：写出解
得到解为：
$$\begin{cases} x_1 = \lambda - x_4, \\ x_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_4, \\ x_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x_4, \end{cases}$$
其中 $x_4$ 为自由变量。
提示：注意自由变量 $x_4$ 的系数符号。
步骤 6/8
目标：讨论参数λ：情况2（λ=1/2）
当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，增广矩阵为：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$
交换第二、三行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 1/2 & 1/2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
第一行减去 $\frac{1}{2}$ 倍第二行：
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 1/2 & -1/2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.$$
提示：注意第二行全零，需要交换行以得到阶梯形。
步骤 7/8
目标：情况2：写出解
得到解为：
$$\begin{cases} x_1 = -\frac{1}{2} + x_3 - \frac{1}{2}x_4, \\ x_2 = 1 - 3x_3 - x_4, \end{cases}$$
其中 $x_3, x_4$ 为自由变量。
提示：注意自由变量有两个：$x_3$ 和 $x_4$。
步骤 8/8
目标：总结
综上所述：
- 当 $\lambda \neq \frac{1}{2}$ 时，方程组有解，解为
$$\begin{cases} x_1 = \lambda - x_4, \\ x_2 = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}x_4, \\ x_3 = \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x_4, \end{cases} \quad x_4 \in \mathbb{R}.$$
- 当 $\lambda = \frac{1}{2}$ 时，方程组有解，解为
$$\begin{cases} x_1 = -\frac{1}{2} + x_3 - \frac{1}{2}x_4, \\ x_2 = 1 - 3x_3 - x_4, \end{cases} \quad x_3, x_4 \in \mathbb{R}.$$
提示：注意两种情况都有解，但解的形式不同。
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