哈尔滨工业大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5．设 $A$ 是 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，证明：非齐次线性方程组 $\displaystyle A X=\beta$ 有解的充分必要条件是齐次线性方程组 $\displaystyle A^{\prime} Y=\mathbf{0}$ 的任意解 $\displaystyle \alpha$ 满足 $\displaystyle \alpha^{\prime} \beta=0$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确要证明的命题
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，要证明：非齐次线性方程组 $AX = \beta$ 有解的充分必要条件是齐次线性方程组 $A'Y = 0$ 的任意解 $\alpha$ 满足 $\alpha' \beta = 0$。
提示：注意 $A'$ 表示 $A$ 的转置，$\alpha'$ 表示行向量。
步骤 2/5
目标：证明必要性：假设 $AX = \beta$ 有解，推导 $\alpha' \beta = 0$
设非齐次线性方程组 $AX = \beta$ 有解，即存在 $X_0$ 使得 $AX_0 = \beta$。对任意 $Y$ 满足 $A'Y = 0$，有 $Y'A = 0$（因为 $(A'Y)' = Y'A = 0$）。于是
$$
Y' \beta = Y' (A X_0) = (Y' A) X_0 = 0 \cdot X_0 = 0.
$$
即 $\alpha' \beta = 0$，其中 $\alpha = Y$。
公式：$Y' \beta = Y' A X_0 = (Y' A) X_0 = 0$
提示：注意 $Y' \beta$ 是标量，$Y'A$ 是行向量，与 $X_0$ 相乘得0。
步骤 3/5
目标：证明充分性：假设 $\alpha' \beta = 0$ 对所有 $A'Y=0$ 的解成立，要证 $AX = \beta$ 有解
假设对任意满足 $A'Y = 0$ 的 $Y$，都有 $Y' \beta = 0$。要证 $AX = \beta$ 有解。考虑矩阵 $A$ 的列空间 $\operatorname{Col}(A)$。$AX = \beta$ 有解当且仅当 $\beta \in \operatorname{Col}(A)$。
提示：列空间是 $A$ 的列向量张成的空间。
步骤 4/5
目标：利用正交补的关系
而 $\operatorname{Col}(A)$ 的正交补是 $\operatorname{Null}(A')$，即 $\operatorname{Col}(A)^\perp = \operatorname{Null}(A')$。由假设，$\beta$ 与 $\operatorname{Null}(A')$ 中所有向量正交，故 $\beta \in (\operatorname{Null}(A'))^\perp = \operatorname{Col}(A)$。
公式：$\operatorname{Col}(A)^\perp = \operatorname{Null}(A')$
提示：注意正交补的运算：$(W^\perp)^\perp = W$ 对有限维子空间成立。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此 $\beta \in \operatorname{Col}(A)$，即 $AX = \beta$ 有解。综上，非齐次线性方程组 $AX = \beta$ 有解的充要条件是齐次线性方程组 $A'Y = 0$ 的任意解 $\alpha$ 满足 $\alpha' \beta = 0$。
提示：充分性证明的关键是理解列空间与零空间的正交关系。
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